Question

在直角三角形ABC中,,是斜邊AB的中點,過作于,連結交于；過作于,連結交于；過作于,…,如此繼續,可以依次得到點,…,,分別記,,,…,的面積為,,,…,則.

 

Answer 1

S_△ABC．

試題分析：由于,是斜邊AB的中點, ,易知D₁E₁∥BC,
∴△BD₁E₁與△CD₁E₁同底同高,面積相等,以此類推；
∴S₁=S_△D1E1A=S_△ABC,
根據直角三角形的性質以及相似三角形的性質可知：D₁E₁=BC,CE₁=AC,S₁=S_△ABC；
∴在△ACB中,D₂為其重心,
又D₁E₁為三角形的中位線,∴D₁E₁∥BC,
∴△D₂D₁E₁∽△CD₂B,且相似比為1：2,
即=,
∴D₂E₁=BE₁,
∴D₂E₂=BC,CE₂=AC,S₂=S_△ABC,
∴D₃E₃=BC,CE₃=AC,S₃=S_△ABC…；
∴S_n=S_△ABC．
故答案是S_△ABC．