Question

【題目】如圖，直線y=x+6與x軸、y軸分別相交于點E、F，點A的坐標為（﹣6，0），P（x，y）是直線y=x+6上一個動點．

（1）在點P運動過程中，試寫出△OPA的面積s與x的函數關系式；

（2）當P運動到什么位置，△OPA的面積為，求出此時點P的坐標；

（3）過P作EF的垂線分別交x軸、y軸于C、D．是否存在這樣的點P，使△COD≌△FOE？若存在，直接寫出此時點P的坐標（不要求寫解答過程）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）s=x+18（x＞﹣8）或s=﹣x﹣18（x＜﹣8）．（2）（﹣6.5， ）或（﹣9.5，﹣1.125）（3）存在P點，使△COD≌△FOE，P的坐標是（﹣， ）或（， ）．

【解析】試題分析：

（1）由已知條件可得OA=6，設點P的坐標為，則點P到OA的距離為，分點P在第一、二象限和第三象限兩種情況分別討論求出S與x間的關系式即可；

（2）把S=代入（1）中所得關系式，解出x的值即可求得對應的點P的坐標；

（3）如圖，分點D在y軸的正半軸和負半軸兩種情況結合已知條件討論計算即可求得對應的點P的坐標.

試題解析：

（1）∵點A的坐標為（-6，0），

∴OA=6，

∵點P在直線上，

∴可設點P的坐標為，

∵直線與x軸交于點E，和y軸交于點F，

∴點E、F的坐標分別為（-8，0）和（0，6），

∴當點P在第一、二象限時，△OPA的面積S=·OA·=；

當點P在第三象限時，△OPA的面積S=·OA·=；

∴點P運動過程中，△OPA的面積s與x的函數關系式是S=或S=；

（2）把S=代入S=和S=得：

和，

解得： 或，

∴點P的坐標為或；

（3）假設存在P點，使△COD≌△FOE，則OD=OE=8，OC=OF=6，

①如圖，當點D在y軸的負半軸時，點C在x軸的負半軸，

∵OD=8，OC=6，

∴點D、C的坐標分別為（0，-8）和（-6，0）,

設直線CD的解析式為：y=kx+b，則： ，解得 ，

∴，

由 解得： ，

∴點P的坐標為；

②如下圖所示：當點D在y軸正半軸時，點C在x軸的正半軸，同理可解得此時點P的坐標為；

綜上所述，存在P點，使△COD≌△FOE，P的坐標是或．