Question

如圖，等腰△ABC中，AC=BC，CD是底邊上的高，∠A=30°．
（1）CD與AB有什么數量關系？請說明理由；
（2）過點D作DD₁⊥BC，垂足為D₁；D₁D₂⊥AB，垂足為D₂；D₂D₃⊥BC，垂足為D₃；D₃D₄⊥AB，垂足為D₄；…；D_2n+1D_2n⊥AB，垂足為D_2n；D_2n+1D_2n⊥BC，垂足為D_2n+1（n為非零自然數）．若CD=a，請用含a的代數式表示下表中線段的長度（請將結果直接填入表中）；

線段	D1D2	D3D4	D5D6	…	D2n-1 D2n
長度				…

（3）某工業園區一個車間的人字形屋架為（2）中的圖形，跨度AB為16米，CD是該屋架的主柱，DD₁，D₁D₂，D₂D₃…D_2n+1D_2n為輔柱．若整個屋架有18根輔柱，則最短一根輔柱的長度約為多少米？（結果精確到0.1米）

Answer 1

解：（1）∵AC=BC，CD⊥AB，∴AD=BD=AB．
在Rt△ACD中，=tan30°，∴CD=ADtan30°=AB×AB．

（2）填表依次為：（或或），
（或或），（或）

（3）∵整個屋架有18根輔柱，
∴右側最短一根輔柱為D₈D₉，倒數第二根為D₇D₈，
D₈D₉=D₇D₈cos30°=（）⁴a×cos30°=（）⁴×AB×cos30°
=（）⁴××16×cos30°=≈1.3（米）．
答：最短一根輔柱的長度約為1.3米．
分析：（1）根據30°的正切值易得CD與AD之間的關系，而根據等腰三角形三線合一的性質可得AD等于BA的一半；
（2）易得∠DCB=60°，那么可根據60°的正弦值得到DD1=a；同理可得D₁D₂=（）²a=a，按規律可得D₃D₄=（）⁴a=a，D₅D₆=（）⁶a=a，D_2n-1D_2n=（）²ⁿa=（）ⁿa；
（3）易得DB=8，利用（2）得到的結論，可算出D₇D₈的長度，利用30°的余弦值可求得所求線段的長度．
點評：本題主要運用了等腰三角形的性質及銳角三角函數，注意總結規律的得出．