Question

已知：四邊形中，對角線的交點為，是上的一點，過點作于點，、交于點．

（1）如圖1，若四邊形是正方形，求證：；
（2）如圖2，若四邊形是菱形，．探究線段與的數量關系，并說明理由；
（3）如圖3，若四邊形是等腰梯形，，且．結合上面的活動經驗，探究線段與的數量關系為             ．（直接寫出答案）．

Answer 1

（1）通過證明△AOF≌△BOE，得OE＝OF （2）證明OF：OE＝AO：OB，AO：OB＝tan60°＝得OF＝OE  （3）OF＝tan（α－45°）OE或OF＝tan（135°－α）OE

試題分析：1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，對角線的交點為O，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，∴OA＝OB．
∵AC⊥BD，AG⊥BE，∴∠FAO＋∠AFO＝90°，∠EAG＋∠AEG＝90°，
∴∠AFO＝∠BEO．
又∵∠AOF＝∠BOE＝90°∴△AOF≌△BOE．∴OE＝OF．        
（2）OF＝OE          
∵四邊形ABCD是菱形，對角線的交點為O，∠ABC＝120°
∴AC⊥BD，∠ABO＝60° ∴∠FAO＋∠AFO＝90°．
∵AG⊥BE，∴∠EAG＋∠BEA＝90°．∴∠AFO＝∠BEO  又∵∠AOF＝∠BOE＝90°
∴△AOF∽△BOE．
∴OF：OE＝AO：OB．∵∠ABO＝60°，AC⊥BD，∴AO：OB＝tan60°＝．
∴OF＝OE                      
（3）OF＝tan（α－45°）OE或OF＝tan（135°－α）OE
點評：本題考查全等三角形和正方形、菱形、等腰梯形，解決本題的方法是熟悉全等三角形的判定方法和正方形、菱形、等腰梯形的性質