Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC、AC分別交于D、E兩點，DF⊥AC于F．

（1）求證：DF為⊙O的切線；

（2）若cosC=，CF=9，求AE的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）7.

【解析】

試題分析：（1）連接OD，AD，求出OD∥AC，推出OD⊥DF，根據切線的判定推出即可；

（2）求出CD、DF，推出四邊形DMEF和四邊形OMEN是矩形，推出OM=EN，EM=DF=12，求出OM，即可求出答案．

試題解析：（1）連接OD，AD，

∵AB是⊙的直徑，

∴∠ADB=90°，

又∵AB=AC，

∴BD=CD

又∵OB=OA，

∴OD∥AC

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF

又∵OD為⊙的半徑，

∴DF為⊙O的切線．

（2）連接BE交OD于M，過O作ON⊥AE于N，

則AE=2NE，

∵cosC=，CF=9，

∴DC=15，

∴DF==12，

∵AB是直徑，

∴∠AEB=∠CEB=90°，

∵DF⊥AC，OD⊥DF，

∴∠DFE=∠FEM=∠MDF=90°，

∴四邊形DMEF是矩形，

∴EM=DF=12，∠DME=90°，DM=EF，

即OD⊥BE，

同理四邊形OMEN是矩形，

∴OM=EN，

∵OD為半徑，

∴BE=2EM=24，

∵∠BEA=∠DFC=90°，∠C=∠C，

∴△CFD∽△CEB，

∴，

∴，

∴EF=9=DM，

設⊙O的半徑為R，

則在Rt△EMO中，由勾股定理得：R2=122+（R-9）2，

解得：R=，

則EN=OM=-9==，

∴AE=2EN=7．