Question

【題目】如圖，已知菱形ABCD，點E是AB的中點，AF⊥BC于點F，聯結EF、ED、DF，DE交AF于點G，且AE2＝EGED．

(1)求證：DE⊥EF；

(2)求證：BC2＝2DFBF．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.

【解析】

（1）根據直角三角形的性質得到AE=FE，根據相似三角形的性質得到∠EAG=∠ADG，求得∠DAG=∠FEG，根據菱形的性質得到AD∥BC，求得∠DAG=∠AFB=90°，于是得到結論；

（2）由AE=EF，AE2=EGED，得到FE2=EGED，推出△FEG∽△DEF，根據相似三角形的性質得到∠EFG=∠EDF，根據相似三角形的判定和性質即可得到結論．

(1)∵AF⊥BC于點F，

∴∠AFB＝90°，

∵點E是AB的中點，

∴AE＝FE，

∴∠EAF＝∠AFE，

∵AE2＝EGED，

∴，

∵∠AEG＝∠DEA，

∴△AEG∽△DEA，

∴∠EAG＝∠ADG，

∵∠AGD＝∠FGE，

∴∠DAG＝∠FEG，

∵四邊形ABCD 是菱形，

∴AD∥BC，

∴∠DAG＝∠AFB＝90°，

∴∠FEG＝90°，

∴DE⊥EF；

(2)∵AE＝EF，AE2＝EGED，

∴FE2＝EGED，

∴，

∵∠FEG＝∠DEF，

∴△FEG∽△DEF，

∴∠EFG＝∠EDF，

∴∠BAF＝∠EDF，

∵∠DEF＝∠AFB＝90°，

∴△ABF∽△DFE，

∴，

∵四邊形ACBD是菱形，

∴AB＝BC，

∵∠AFB＝90°，

∵點E是AB的中點，

∴FE＝AB＝BC，

∴＝，

∴BC2＝2DFBF．