Question

【題目】閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務：

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）是瑞士數學家，在數學上經常見到以他的名字命名的重要常數、公式和定理，下面是歐拉發現的一個定理：在△ABC 中，R 和 r 分別為外接圓和內切圓的半徑，O 和 I 分別為其外心和內心，則OI R2Rr .

下面是該定理的證明過程（借助了第(2)問的結論）：

延長AI 交⊙O 于點 D，過點 I 作⊙O 的直徑 MN，連接 DM，AN.

∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所對的圓周角相等），

∴△MDI∽△ANI.∴，∴ IA ID IM IN ①

如圖②，在圖 1（隱去 MD，AN）的基礎上作⊙O 的直徑DE，連接BE，BD，BI，IF

∵DE 是⊙O 的直徑，∴∠DBE=90°.

∵⊙I 與 AB 相切于點 F，∴∠AFI=90°，

∴∠DBE=∠IFA.

∵∠BAD=∠E（同弧所對圓周角相等），

∴△AIF∽△EDB．

∴，∴②，

由（2）知：，

∴

又∵，

∴ 2Rr(R d )(R d ) ，

∴ R d 2Rr

∴ d R 2Rr

任務：（1）觀察發現： IM R d ， IN （用含R，d 的代數式表示）；

（2）請判斷 BD 和 ID 的數量關系，并說明理由.（請利用圖 1 證明）

（3）應用：若△ABC 的外接圓的半徑為 6cm，內切圓的半徑為 2cm，則△ABC 的外心與內心之間的距離為 　　cm．

Answer 1

【答案】（1） （2），證明見解析 （3）

【解析】

（1）根據線段的差求解即可；

（2）根據點I是△ABC的內心，推出，進而根據外角性質以及圓周角定理得到，即可得證；

（3）利用（1）和（2）的結論可得，進而得出，再代入求值即可．

（1）∵IM R d

∴；

（2）

∵點I是△ABC的內心

∴

∵

∴

∴；

（3）由（2）知

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴．