Question

【題目】如圖，AB＝4，C為射線BA上一動(dòng)點(diǎn)，以BC為邊向上作正三角形BCD，⊙O過(guò)A、C、D三點(diǎn)，E為⊙O上一點(diǎn)，滿足AD＝ED，直線CE交直線AD于F．

（1）求證：CE∥BD；

（2）設(shè)CF=a，若C在線段AB上運(yùn)動(dòng)．

①求點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)；

②求a的范圍；

（3）若AC＝1，求 tan∠DEC．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①4；②0≤a≤1；（3）或；

【解析】

（1）連接AE，證△ADE為等邊三角形即可得到∠ECD=∠CDB=60°，則有CE∥BD.

(2) ①首先分析E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是在于AB平行且距離為2的直線上，再進(jìn)行計(jì)算；

②設(shè)CB的長(zhǎng)為x(0<x<4),通過(guò)證明，得到用含x的式子表示a,從而求出a的取值范圍.

(3)分兩種情況討論：點(diǎn)C在線段AB上和在A點(diǎn)的左邊兩種情況分別進(jìn)行計(jì)算求解.

解：（1）連接AE

∵三角形BCD是等邊三角形，

∴∠B=∠BCD=∠BDC=60°.

∵四邊形ACDE是圓O的內(nèi)接四邊形，

∴∠AED+∠ACD=180°.

又∵∠ACD+∠BCD=180°，

∴∠AED=∠BCD=60°.

∵AD=AE，

∴三角形ADE是等邊三角形.

∴∠EAD=60°，

∴∠EAD=∠ECD=∠CDB=60°.

∴CE∥BD;

(2) ①∵∠EDA=∠CDB=60°，

∴∠EDA+∠ADC=∠CDB+∠ADC，即∠EDC=∠ADB.

又∵ED=AD,CD=DB,

∴.

∴EC=AB=4.

過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，在直角三角形CFE中，∠ECA=60°，∴EG=EC=2

∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡為于AB平行且距離為2的直線上.

所以點(diǎn)C在A時(shí)，得到點(diǎn)E1, 點(diǎn)C在B時(shí)，得到點(diǎn)E2,∴四邊形E1ACE2是平行四邊形,

所以E1E2=AB=4.

∴E的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為4.

②設(shè)CB的長(zhǎng)為x(0<x<4),則AC=4-x,BD=CB=x.

∵CE∥BD，

∴

∴=,∴=.

∴a=-+x=-(x-2)2+1.

當(dāng)x=2時(shí)，a有最大值為1；

當(dāng)x=0時(shí)，a有最小值0.

∴0≤a≤1.

(3)當(dāng)C在AB之間時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB與點(diǎn)H，則AC=1,BC=BD=3.

∴BH=BC=，DH=BD=.

∴AH=AB-BH=.

∴tan∠DEC=tan∠DAH==.

當(dāng)C在A的左邊時(shí)，同理可以求得tan∠DEC=tan∠DAH=.

∴tan∠DEC的值為或；