Question

【題目】如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，且BD=BC，延長AD到E，BE是⊙O的切線，B是切點．

（1）求證：∠EBD=∠CAB；

（2）若BC=，AC=5，求sin∠CBA．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】（1）先根據等弦所對的劣弧相等，再由切線的性質和圓周角定理即可得出結論；

（2）利用三角形的中位線先求出OF，再用勾股定理求出半徑R．在Rt△ODF中，求出sin∠ODF的值，即可得出結論．

如圖1，連接OB．

∵BD=BC，∴∠CAB=∠BAD．

∵BE是⊙O的切線，∴∠EBD+∠OBD=90°．

∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD=90°，OA=BO，∴∠BAD=∠ABO，∴∠EBD=∠BAD．

∵BD=BC，∴∠CAB=∠DAB，∴∠EBD=∠CAB．

（2）如圖2，設圓的半徑為R，連接CD．

∵AD為⊙O的直徑，∴∠ACD=90°．

∵BC=BD，∴OB⊥CD，∴OB∥AC．

∵OA=OD，∴OF=AC=2.5，∴BF=R－2.5，FD2=OD2-OF2= R2-2.52

在Rt△BFD中，∵BF2+FD2=BD2，∴，2R2-5R-3=0，

∴（2R+1）（R-3）=0．

∵R＞0，∴R=3．

在Rt△ODF中，sin∠ODF===．

∵∠CBA=∠CDA，∴sin∠CBA=sin∠CDA= sin∠ODF=．