【題目】如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BA＝AD＝DC，點E在CB延長線上，BE＝AD，連接AC、AE．
⑴ 求證：AE＝AC；
⑵ 若AB⊥AC， F是BC的中點，試判斷四邊形AFCD的形狀，并說明理由．
【答案】（1）見解析；（2）四邊形AFCD是菱形，理由見解析
【解析】
（1）首先連接BD，根據等腰梯形的性質，可得AC=BD，易得四邊形AEBD是平行四邊形，由平行四邊形的對邊相等，即可得AE=BD，繼而證得結論；
（2）由AB⊥AC，F是BC的中點，根據等腰梯形的性質，易求得∠ACB=30°，繼而可證得AF=FC=CD=AD，則可判定四邊形AFCD是菱形．
（1）連接BD
∵梯形ABCD是等腰梯形
∴AC＝BD
∵BE＝AD， AD∥BC
∴四邊形AEBD是平行四邊形
∴AE＝BD，
∴AE＝AC
（2）四邊形AFCD是菱形， 理由是：
∵AB⊥AC， F是BC的中點
∴AF＝CF，
∴∠FAC＝∠FCA
∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠FCA
∴∠DCA＝∠FAC
∴AF∥DC
∵AD∥BC，AF∥DC
∴四邊形AFCD是平行四邊形
又AD＝DC
∴四邊形AFCD是菱形
名校課堂系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四邊形ABCD為菱形，以AD為直徑作⊙O交AB于點F，連接DB交⊙O于點H，E是BC上的一點，且BE＝BF，連接DE．
（1）求證：△DAF≌△DCE．
（2）求證：DE是⊙O的切線．
（3）若BF＝2，DH＝
，求四邊形ABCD的面積．
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【題目】將正整數按如圖所示的規律排列下去，若有序數對(n，m)表示第n排，從左到右第m個數，如(4，3)表示8，已知1+2+3+…+n=
，則表示2020的有序數對是( )．
A.(64，4)B.(65，4)C.(64，61)D.(65，61)
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系中，對△ABC 進行循環往復的軸對稱或中心對稱變換，若原來點 A 坐標是(a，b)，則經過第 2012 次變換后所得的 A 點坐標是( )
A. (a，b) B. (a，﹣b) C. (﹣a，b) D. (﹣a，﹣b)
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在直角坐標系中，拋物線
與y軸交于點D（0，3）．
（1）直接寫出c的值；
（2）若拋物線與x軸交于A、B兩點（點B在點A的右邊），頂點為C點，求直線BC的解析式；
（3）已知點P是直線BC上一個動點，
①當點P在線段BC上運動時（點P不與B、C重合），過點P作PE⊥y軸，垂足為E，連結BE．設點P的坐標為（x，y），△PBE的面積為s，求s與x的函數關系式，寫出自變量x的取值范圍，并求出s的最大值；
②試探索：在直線BC上是否存在著點P，使得以點P為圓心，半徑為r的⊙P，既與拋物線的對稱軸相切，又與以點C為圓心，半徑為1的⊙C相切？如果存在，試求r的值，并直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝17，將矩形ABCD繞點D按順時針方向旋轉得到矩形DEFG，點A落在矩形ABCD的邊BC上，連接CG，則CG的長是_____．
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