Question

【題目】如圖，四邊形為正方形，為對角線上的動點，過點作，交射線于，交射線于．

(1)求證；；

(2)求證；；

(3)若，當時，直接寫出的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）或

【解析】

（1）連接EC，通過證明EG=EC，EF=EC，來證明EG=EF，進而轉化為證明∠2=∠3，∠4=∠5即可；

（2）作EH⊥BC，易知EG=BE，由△GEH∽△GFC 易得CF=2EG，從而證得；

（3）分兩種情況，F點在線段DC上和F點在線段CD的延長線上，設BE(或DE)的長為x,結合（2）的結論，利用等腰三角形及方程的思想即可得解.

（1）證明：連接CE，

∵四邊形ABCD為正方形

∴BA=BC，∠ABC=∠BCD=90°

∠ABE=∠CBE=45°

又BE=BE

∴△ABE≌△CBE（SAS）

∴∠1=∠3

又FG⊥AE

∴∠AEM=90°

∴∠1+∠AME=90°

又∠2+∠BMG=∠ABC=90°，∠AME=∠BMG

∴∠1=∠2

∴∠2=∠3

∴EG=EC

又∠3+∠4=90°，∠2+∠5=90°

∴∠4=∠5

∴EC=EF

∴EF=EG

（2）作EH⊥BC，H為垂足，

則△BEH為等腰直角三角形，EG=BE，∠GHE=90°=∠BCD

又∠EGH=∠FGC

∴△GEH∽△GFC

∴

∴FC=2EH=2×EB=EB

（3）或，簡證如下：

①延長AE,交GC于M，連接AC,過點M作MH⊥AC，交AC于點H，則CM=MH

∵，∠GEM=90°，∠EBM=45°,

∴，

∴BE=GB=GM，

又∵易得∠BAM=∠CAM=22.5°，

∴AM平分∠BAC，

∴BM=MH

設BE=x，則BM=MH=x，CM=x，

∴BM+MC=BC=AB

∴x+x=4，

解得：x=4(-1)，

即BE=4(-1)，而CF=BE，

∴CF=

延長AE,交DC于M，連接AC,過點M作MH⊥AC，交AC于點H，則CM=MH

設DE=x，則同理可得DE=DF=DM=MH=x，CM=x，

∵DM+CM=DC=AB

∴x+x=4，

解得：x=4(-1)，

∴DE=DM=DF=4(-1)，

∴CF=CD+DF=4+4(-1)=4，

綜上：的長為或.