Question

【題目】我們新定義一種三角形：若一個三角形中存在兩邊的平方差等于第三邊上高的平方，則稱這個三角形為勾股高三角形，兩邊交點為勾股頂點．

●特例感知

①等腰直角三角形 勾股高三角形（請填寫“是”或者“不是”）；

②如圖1，已知△ABC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點，CD是AB邊上的高．若，試求線段CD的長度．

●深入探究

如圖2，已知△ABC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點且CA＞CB，CD是AB邊上的高．試探究線段AD與CB的數量關系，并給予證明；

●推廣應用

如圖3，等腰△ABC為勾股高三角形，其中，CD為AB邊上的高，過點D向BC邊引平行線與AC邊交于點E．若，試求線段DE的長度．

Answer 1

【答案】●特例感知:①是；②；

●深入探究： ，理由見解析；

●推廣應用：2a．

【解析】試題分析：●特例感知

①根據勾股高三角形的定義進行判斷即可.

②設根據勾股定理可得： ，根據勾股高三角形的定義列出方程，解方程即可.

●深入探究

根據勾股高三角形的定義結合勾股定理即可得出它們之間的關系.

●推廣應用

運用探究的結果進行運算即可.

試題解析：

●特例感知

① 是 ；

②設

根據勾股定理可得： ，

于是，

∴；

●深入探究

由可得： ，而，

∴，即；

●推廣應用

過點A向ED引垂線，垂足為G，

∵“勾股高三角形”△ABC為等腰三角形，且，

∴只能是，由上問可知……①．

又ED∥BC，∴……②．

而……③，

∴△AGD≌△CDB（AAS），于是．

易知△ADE與△ABC均為等腰三角形，

根據三線合一原理可知．

又∴，

∴．