【題目】如圖，
、
是兩個全等的等腰直角三角形，
．
若將的頂點
放在
上（如圖
），
、
分別與
、
相交于點
、
．求證：
；
若使的頂點與頂點
重合（如圖
），、與相交于點、．試問
與
還相似嗎？為什么？
【答案】（1）見解析；（2）
與
相似．理由見解析
【解析】
（1）如圖1，先根據等腰直角三角形的性質得∠B=∠C=∠DPE=45°，再利用平角定義得到∠BPG+∠CPF=135°，利用三角形內角和定理得到∠BPG+∠BGP=135°，根據等量代換得∠BGP=∠CPF，加上∠B=∠C，于是根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似即可得到結論；
（2）如圖2，由于∠B=∠C=∠DPE=45°，利用三角形外角性質得∠BGP=∠C+∠CPG=45°+∠CAG，而∠CPF=45°+∠CAG，所以∠AGP=∠CPF，加上∠B=∠C，于是可判斷△PBG∽△FCP．
證明：如圖
，
∵
、
是兩個全等的等腰直角三角形，
∴
，
∴
，
在
中，∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
；
解：與相似．理由如下：
如圖
，∵、是兩個全等的等腰直角三角形，
∴，
∵
，
，
∴
，
∵，
∴．
科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知：在△ABC中，AC=BC=4，∠ACB=120°，將一塊足夠大的直角三角尺PMN（∠M=90°，∠MPN=30°）按如圖放置，頂點P在線段AB上滑動，三角尺的直角邊PM始終經過點C，并且與CB的夾角∠PCB=α，斜邊PN交AC于點D.
（1）當PN∥BC時，判斷△ACP的形狀，并說明理由；
（2）點P在滑動時，當AP長為多少時，△ADP與△BPC全等，為什么？
（3）點P在滑動時，△PCD的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，請求出夾角α的大小；若不可以，請說明理由.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】已知正比例函數y=(2m+4)x，求：
(1)m為何值時，函數圖象經過第一、三象限？
(2)m為何值時，y隨x的增大而減小？
(3)m為何值時，點(1，3)在該函數的圖象上？
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】我們新定義一種三角形：若一個三角形中存在兩邊的平方差等于第三邊上高的平方，則稱這個三角形為勾股高三角形，兩邊交點為勾股頂點．
●特例感知
①等腰直角三角形 勾股高三角形（請填寫“是”或者“不是”）；
②如圖1，已知△ABC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點，CD是AB邊上的高．若
，試求線段CD的長度．
●深入探究
如圖2，已知△ABC為勾股高三角形，其中C為勾股頂點且CA＞CB，CD是AB邊上的高．試探究線段AD與CB的數量關系，并給予證明；
●推廣應用
如圖3，等腰△ABC為勾股高三角形，其中
，CD為AB邊上的高，過點D向BC邊引平行線與AC邊交于點E．若
，試求線段DE的長度．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】下面是圓圓設計的“作等腰三角形一腰上的高線”的尺規作圖過程 .
已知：△
，
.
求作：
邊上的高線．
作法：如圖，
①以點
為圓心，
為半徑畫弧，交于點
和點
；
②分別以點和點為圓心，大于
長為半徑畫弧，兩弧相交于點
；
③作射線
交于點
．
所以線段
就是所求作的邊上的高線．
根據圓圓設計的尺規作圖過程，完成下列問題：
（1）使用直尺和圓規，補全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成下面證明.
證明：∵
，
∴點在線段
的垂直平分線上（__________） （填推理的依據）．
∵__________=__________，
∴點在線段的垂直平分線上．
∴是線段的垂直平分線.
∴⊥．
∴線段就是邊上的高線．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】在
中，
，翻折
，使點
落在斜邊
上某一點
處，折痕為
（點
、
分別在邊
、
上）
當
時，若
與
相似（如圖
），求
的長；
當點是的中點時（如圖
），與相似嗎？請說明理由．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，某地有一座圓弧形的拱橋，橋下水面寬AB為12米，拱高CD為4米．
(1)求這座拱橋所在圓的半徑．
(2)現有一艘寬5米，船艙頂部為正方形并高出水面3.6米的貨船要經過這里，此時貨船能順利通過這座拱橋嗎？請說明理由．
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