Question

【題目】如圖，拋物線y=-x2+bx+c，與軸交于點A和點B，與y軸交于點C，點B坐標為（6，0），點C坐標為（0，6），點D是拋物線的頂點，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．

(Ⅰ)求拋物線的解析式及點D的坐標；

(Ⅱ)點是拋物線上的動點，當時，求點F坐標；

(Ⅲ)若點P是x軸上方拋物線上的動點，以PB為邊作正方形PBFG，隨著點P的運動，正方形的大小、位置也隨著改變，當頂點F或G恰好落在y軸上時，請直接寫出點P的橫坐標．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)y=-x2+2x+6；；(Ⅱ)點的坐標為或；(Ⅲ)點的橫坐標為或4或0．

【解析】

(Ⅰ)把B、C坐標代入y=-x2+bx+c，解方程組求出b、c的值即可得拋物線解析式，把解析式變形為頂點式可得D點坐標；(Ⅱ)過F作FG⊥x軸于點G，設F點坐標為，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性質可得到關于F點坐標的方程，即可求得F點的坐標；(Ⅲ)設，分G在y軸上、F在y軸上、F在y軸上，P與C重合三種情況討論，根據正方形的性質得出m的方程，求出m的值即可得P點橫坐標.

(Ⅰ)把點坐標為（6，0），點坐標為（0，6）代入拋物線y=-x2+bx+c

得，解得．

∴，

∴．

(Ⅱ)如圖1，過作軸于點，

設，則

∵，，

∴，

∴．

∵，，

∴，，，，

∴，

∴，

當點在軸上方時，有，解得或(舍去)，

此時點坐標為．

當點在軸下方時，有，解得或(舍去)，

此時點坐標為．

綜上可知點的坐標為或．

(Ⅲ)設，有三種情況：

①如圖2，當在軸上時，過P作軸于，作PM⊥x軸于，

∵四邊形是正方形，

∴．

∵，，

∴≌△PMB，

∴．

即，解得，(舍)．

∴的橫坐標為．

②當在軸上時，如圖3，過作PM⊥x軸于M，

同理得：△PMB≌，

∴OB=PM=6．

即，解得：(舍)，．

∴的橫坐標為4．

③當在軸上時，如圖4，此時與重合，此時的橫坐標為0．

綜上所述，點的橫坐標為或4或0．