Question

【題目】如圖，已知∠AOB=60°，點P為射線OA上的一個動點，過點P作PE⊥OB，交OB 于點E，點D在∠AOB內，且滿足∠DPA=∠OPE，DP+PE=6.

（1）當DP=PE時，求DE的長；

（2）在點P的運動過程中，請判斷是否存在一個定點M，使得的值不變？并證明你的判斷.

Answer 1

【答案】（1）DE=3；（2）當M點在射線OA上且滿足OM=2時，的值不變，始終為1.理由見解析.

【解析】

（1）作PF⊥DE交DE于F．由直角三角形的兩銳角互余得到∠OPE=30°，在由平角的定義，得出∠EPD=120°．然后解三角形DPE即可得出結論．

（2）當點P與點M不重合時，延長EP到K使得PK=PD．可以證明△KPM≌△DPM，得到MK=MD．作ML⊥OE于L，MN⊥EK于N．解Rt△MLO得到ML的長，易證四邊形MNEL為矩形，得到EN=ML=3．通過證明MK=ME，得到ME=MK=MD，即可得到=1．

當點P與點M重合時，結論也成立．

（1）作PF⊥DE交DE于F．

∵PE⊥BO，∠AOB=60°，∴∠OPE=30°，∴∠DPA=∠OPE=30°，∴∠EPD=120°．

∵DP=PE，DP+PE=6，∴∠PDE=30°，PD=PE=3，∴DF=PDcos30°=，∴DE=2DF=．

（2）當M點在射線OA上且滿足OM=時，的值不變，始終為1．理由如下：

①當點P與點M不重合時，延長EP到K使得PK=PD，連接MK．

∵∠DPA=∠OPE，∠OPE=∠KPA，∴∠KPA=∠DPA，∴∠KPM=∠DPM．

∵PK=PD，PM是公共邊，∴△KPM≌△DPM，∴MK=MD．

作ML⊥OE于L，MN⊥EK于N．

∵MO=，∠MOL=60°，∴ML=MOsin60°=3．

∵PE⊥BO，ML⊥OE，MN⊥EK，∴四邊形MNEL為矩形，∴EN=ML=3．

∵EK=PE+PK=PE+PD=6，∴EN=NK．

∵MN⊥EK，∴MK=ME，∴ME=MK=MD，即=1．

②當點P與點M重合時，由上述過程可知結論成立．