Question

【題目】如圖，拋物線（，為常數且）經過點，頂點為，經過點的直線與軸平行，且與交于點，（在的右側），與的對稱軸交于點，直線經過點．

（1）用表示及點的坐標；

（2）的值是否是定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由；

（3）當直線經過點時，求的值及點，的坐標；

（4）當時，設的外心為點，則

①求點的坐標；

②若點在的對稱軸上，其縱坐標為，且滿足，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），；（2）是，定值為2；（3），，；（4）①；②或．

【解析】

（1）首先根據題意將點C坐標代入拋物線解析式求出，然后將拋物線解析式化為頂點式，最后將代入，由此即可得出點M的坐標；

（2）首先利用拋物線的對稱性得出，然后進一步根據點M的坐標得出PF=1，最后通過進一步化簡變形求解即可；

（3）根據“直線經過點”列出方程，然后結合拋物線的開口方向所判斷出的將原方程化簡為，由此解出方程，結合題意分別表示出A、B兩點的坐標，最后再代入直線的解析式求出的值，由此進一步求解即可得出答案；

（4）①根據拋物線的軸對稱性可知，的對稱軸就是的垂直平分線，由此得出的外心就在直線上，則有，據此進一步設N點坐標為(，)，再結合點A、C的坐標建立方程，求出的值，從而即可得出點N的坐標；②結合題意可得點Q(1，)，然后利用C、N兩點的坐標得出半徑，由此進一步得出，最后根據題意進一步分析討論即可.

（1）把點C(，0)代入拋物線，得：

，

∴．

∴拋物線L解析式為：，

頂點M坐標為(1，)；

（2）是定值，

根據圖像，由拋物線的軸對稱性，可知，

又∵拋物線L的對稱軸為，故，

∴；

（3）當直線經過點時，有，

化簡得，，

∵根據拋物線開口向上可知，

∴，

解得：，，

∵B在的右側，對稱軸為，

∴B點坐標為：(4，)，A點坐標為(，)，

把點代入直線，得，解得，

∴A點坐標為(，)，B點坐標為：(4，)；

（4）

①根據拋物線的軸對稱性可知，的對稱軸就是的垂直平分線，

故的外心就在直線上，則有．

∴設N點坐標為(，)，由（3）可知A點坐標為(，)，及C點坐標為(，)，

∴，

即，解得，

∴N點坐標為(，)；

②或．

如圖，對于點Q(1，)，若，

根據同弧所對的圓周角相等，可得點為與的交點，

∵N點坐標為(，)，C點坐標為(，)，

∴的半徑為，

則；

設點關于直線的對稱點為，若，

則．

綜上，若點滿足，則有或．