Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的點，連接AC、CB，過O作EO∥CB并延長EO到F，使EO＝FO，連接AF并延長，AF與CB的延長線交于D．求證：AE2＝FGFD．

Answer 1

【答案】詳見解析

【解析】

如圖，連結BF、BG．由△AEO≌△BFO的對應邊相等得到AE=BF，然后由圓周角定理和平行線的性質易證△FGB∽△FBD，則根據該相似三角形的對應邊成比例證得結論．

證明：連結BF、BG．

∵在△AEO和△BFO中，

，

∴△AEO≌△BFO（AAS），

∴AE＝BF．

又∵∠ACB＝90°，EF∥BC，

∴∠OFB＝∠AEO＝∠ACB＝90°，

∴∠FBD＝90°，

又∵BG⊥FD，

∴△FGB∽△FBD，

∴＝，即＝，

∴AE2＝FGFD．