Question

【題目】在△ABC中，∠B=90°∠A

(1)如圖1，求證：AB=AC；

(2)如圖2，若∠BAC=90°，點D為AB上一點，過點B作直線CD的垂線，垂足為E，連接AE， 求∠AEC的度數；

(3)如圖3，在(2)的條件下，過點A作AE的垂線交CE于點F，連接BF，若∠ABF-∠EAB=15°，G為DF上一點，連接AG，若∠AGD=∠EBF，AG=6,求CF的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）45°；（3）6

【解析】

（1）利用三角形內角和定理求出，即可證明，即可證明AB=AC；

（2）在CE上截取CF=BE，連接AF,通過證明,可得證明是等腰直角三角形，從而求出∠AEC；

（3）由（2）得出，證明，得出，利用角的轉換求出∠AGD=∠EBF=60°，再根據30°直角三角形的性質求出EF，然后再根據勾股定理求出CF的長度.

解：（1）=

=90°∠A

∴

∴AB=AC

（2）如圖：

在CE上截取CF=BE，連接AF

由（1）得AB=AC

∴

又∠BAC=90°，（對頂角）

∴

在和中

∴

∴AE=AF,

又∠BAC=∠DAF+∠FAC=90°

∴∠DAF+∠EAB=90°

∴EAF是等腰直角三角形

∴∠AEC=45°

（3）如圖：作AHEC

由（2）得

（對頂角相等）

又∠ABF-∠EAB=15°

∴∠AGD=∠EBF=60°

∴在RtAHG中，HG=

∴EF=

在RtBEF中 ，設BE=x,則BF=2x

∴

解得：

∴BE=6

∴CF=BE=6