Question

【題目】綜合題
（1）【問題情境】
徐老師給愛好學習的小敏和小捷提出這樣一個問題：
如圖1，△ABC中，∠B=2∠C，AD是∠BAC的平分線．求證：AB+BD=AC

小敏的證明思路是：在AC上截取AE=AB，連接DE．（如圖2）…

小捷的證明思路是：延長CB至點E，使BE=AB，連接AE． 可以證得：AE=DE（如圖3）…
請你任意選擇一種思路繼續完成下一步的證明．

（2）【變式探究】
“AD是∠BAC的平分線”改成“AD是BC邊上的高”，其它條件不變．（如圖4），AB+BD=AC成立嗎？若成立，請證明；若不成立，寫出你的正確結論，并說明理由．

（3）【遷移拓展】
△ABC中，∠B=2∠C． 求證：AC2=AB2+ABBC． （如圖5）

Answer 1

【答案】
（1）解：小敏的證明思路是：如圖2，在AC上截取AE=AB，連接DE．（如圖2）

∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠BAD=∠EAD．

在△ABD和△AED中，

，

∴△ABD≌△AED（SAS），

∴BD=DE，∠ABD=∠AED

∵∠AED=∠EDC+∠C，∠B=2∠C，

∴∠EDC=∠C，

∴DE=EC，

即AB+BD=AC；

小捷的證明思路是：如圖3，延長CB至點E，使BE=AB，連接AE．

∴∠E=∠BAE．

∵∠ABC=∠E+∠BAE，

∴∠ABC=2∠E．

∵∠ABC=2∠C，

∴∠E=∠C，

∴△AEC是等腰三角形．

∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠BAD=∠DAC．

∵∠ADE=∠DAC+∠C，∠DAE=∠BAD+∠BAE

∴∠ADE=∠DAE，

∴EA=ED=AC，

∴AB+BD=AC

（2）解：AB+BD=AC不成立 正確結論：AB+BD=CD

理由：如圖4，在CD上截取DE=DB，連結AE，

∵AD⊥BC，

∴AD是BE的中垂線，

∴AE=AB，

∴∠B=∠AED．

∵∠AED=∠C+∠CAE，且∠B=2∠C，

∴∠C=∠CAE，

∴AE=EC．

即AB+BD=CD

（3）解：證明：如圖5，過點A作AD⊥BC于D．

由勾股定理得：AB2=BD2+AD2，AC2=CD2+AD2，

∴AC2﹣AB2=CD2﹣BD2=（CD+BD）（CD﹣BD）=BC（CD﹣BD）

∵AB+BD=CD，

∴CD﹣BD=AB，

∴AC2﹣AB2=BC（CD﹣BD）=BCAB，

即AC2=AB2+ABBC

【解析】【問題情境】小敏的證明思路是：在AC上截取AE=AB，由角平分線的性質就可以得出∠DAB=∠DAE，再證明△ADB≌ADE就可以得出結論；小捷的證明思路是：延長CB至點E，使BE=AB，連接AE．就可以得出∠E=∠C，就有AE=AC，進而得出AE=ED即可；
【變式探究】CD上截取DE=DB，連結AE，由AD⊥BC就可以得出AE=AB，∠AED=∠B，由∠AED=∠C+∠CAE就有∠C=∠CAE得出AE=EC，進而得出結論；
【遷移拓展】過點A作AD⊥BC于D．由勾股定理得：AB2=BD2+AD2，AC2=CD2+AD2，AC2-AB2=CD2-BD2=BC（CD-BD），由（2）的結論就可以得出AC2-AB2=BC（CD-BD）=BCAB即可．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰直角三角形的相關知識，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°，以及對勾股定理的概念的理解，了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．