Question

【題目】在矩形ABCD中，AC是對角線，點E,F,G分別為AB,AC,BC的中點：

（1）求證：四邊形EFCG是平行四邊形；

（2）若ACD2ACB,AB4，求BF的長；

（3）在（2）的條件下，求四邊形EFCG的面積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BF=4；（3）四邊形EFCG的面積=.

【解析】

（1）由條件點E、F、G分別為AB、AC、BC的中點，用三角形中位線定理可證明EF∥BC，EG∥AC，結論即可得證；

（2）由條件易求得ACB=，再利用直角三角形的性質求出斜邊AC的長，最后再用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半的性質即可求出BF；

（3）在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC，進而求出CG，又易知BE=2，則平行四邊形EFCG的面積即可求出.

解（1）證明：∵點E、F分別為AB、AC的中點，

∴EF∥BC，

∵點E、G分別為AB、BC的中點，

∴EG∥AC.

∴四邊形EFCG是平行四邊形；

（2）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠BCD=90°.

∵ACD2ACB，

∴ACB=.

∴AC=2AB=8.

∵F為AC中點，∴；

（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得，

∵G為BC中點，∴CG=BC=.

∵E為AB中點，∴BE=AB=2.

∴平行四邊形EFCG的面積==.