Question

【題目】小明為探究函數的圖象和性質，需要畫出函數圖象，列表如下：

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根據上表數據，在平面直角坐標系中描點，畫出函數圖象，如圖如示，小明畫出了圖象的一部分．

（1）請你幫小明畫出完整的的圖象；

（2）觀察函數圖象，請寫出這個函數的兩條性質：

性質一： ；

性質二： ．

（3）利用上述圖象，探究函數圖象與直線的關系；

①當 時， 直線與函數在第一象限的圖象有一個交點，則的坐標是 ；

②當為何值時，討論函數的圖象與直線的交點個數．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）性質一：圖象有兩個分支，分別在第一、第二象限；性質二：圖象在第一象限時，y隨x的增大而減小，在第二象限時，y隨x的增大而增大；（3）①當b=2，A(1，1)，②當b＞2時，兩個函數有三個交點；當b=2時，兩個函數有兩個交點；當b＜2時，兩函數有一個交點

【解析】

（1）根據表格描點，連線即可；

（2）根據圖象觀察即可得出結論；

（3）①當x>0時，方程-x+b=，整理得x2-bx+1=0，根據直線y=-x+b與函數的圖象在第一象限只有一個交點，可得=0，解得b=2，把b=2代入x2-bx+1=0，即可的到點A的坐標；

②由一次函數的性質可得的圖象經過必定經過二、四象限，所以當x<0時，直線y=-x+b與函數的圖象在第二象限只有一個交點，再結合圖象討論當x>0時的情況，即可得出答案．

解：（1）繪制完整圖象如下圖：

；

（2）由圖象可得：圖象有兩個分支，分別在第一、第二象限；

圖象在第一象限時，y隨x的增大而減小，在第二象限時，y隨x的增大而增大；

（3）①當x>0時，方程-x+b=，即為-x+b=，

整理得x2-bx+1=0，

∵直線y=-x+b與函數的圖象在第一象限只有一個交點，

∴=0，即b2-4=0，

解得b=2，b=-2（不符合題意，舍去），

把b=2代入x2-bx+1=0，

解得x1=x2=1，

故點A的坐標為（1，1）；

②∵的k值小于0，

∴圖象經過必定經過二、四象限，

∴當x<0時，直線y=-x+b與函數的圖象在第二象限只有一個交點，

由①可知，當x>0，b=2時，直線y=-x+b與函數的圖象在第一象限只有一個交點，

∴當b=2時，兩個函數有兩個交點，

結合圖象可知當b＞2時，兩個函數有三個交點，當b＜2時，兩函數有一個交點，

綜上：當b＞2時，兩個函數有三個交點；當b=2時，兩個函數有兩個交點當b＜2時；兩函數有一個交點．