Question

已知：如圖△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它們交于點H，且AE=BE，求證：AH=2BD．

Answer 1

分析：△ABC中，AB=AC，AD是底邊上的高，則BC=2BD，又∵BE是高，所以，∠AEH=∠BEC=90°，∠HAE+∠AHE=∠DAC+∠C，所以，∠AHE=∠C，所以，△AHE≌△BCE，則AH=BC，即AH=2BD．

解答：證明：∵在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，AD是底邊上的高，
∴BC=2BD，
又∵BE是高，
∴∠AEH=∠ADC=90°，
則∠DAC+∠AHE=∠DAC+∠C=90°，
∴∠AHE=∠C，
在△AHE和△BCE中，

∠AHE=∠C ∠AEH=∠BEC AE=BE

，
∴△AHE≌△BCE（AAS），
∴AH=BC，又BC=2BD，
∴AH=2BD．

點評：本題主要考查了等腰三角形的性質和全等三角形的判定與性質，證明兩個三角形全等，是證明線段或角相等的重要工具；在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．