Question

【題目】如圖，已知∠BAC＝65°，D為∠BAC內部一點，過D作DB⊥AB于B，DC⊥AC于C，設點E、點F分別為AB、AC上的動點，當△DEF的周長最小時，∠EDF的度數為_____．

Answer 1

【答案】50°

【解析】

先作點D關于AB和AC的對稱點M、N，連接MN交AB和AC于點E、F，此時△DEF的周長最小，再根據四邊形內角和與等腰三角形的性質即可求解．

解：如圖所示：

延長DB和DC至M和N，使MB＝DB，NC＝DC，

連接MN交AB、AC于點E、F，

連接DE、DF，此時△DEF的周長最小．

∵DB⊥AB，DC⊥AC，

∴∠ABD＝∠ACD＝90°，∠BAC＝65°，

∴∠BDC＝360°﹣90°﹣90°﹣65°＝115°，

∴∠M+∠N＝180°﹣115°＝65°

根據對稱性質可知：

DE＝ME，DF＝NF，

∴∠EDM＝∠M，∠FDN＝∠N，

∴∠EDM+∠FDN＝65°，

∴∠EDF＝∠BDC﹣（∠EDM+∠FDN）＝115°﹣65°＝50°．

故答案為50°．