Question

【題目】如圖，拋物線與直線交于A，B兩點，交x軸于D，C兩點，已知，．

求拋物線的函數表達式并寫出拋物線的對稱軸；

在直線AB下方的拋物線上是否存在一點E，使得的面積最大？如果存在，求出E點坐標；如果不存在，請說明理由．

為拋物線上一動點，連接PA，過點P作交y軸于點Q，問：是否存在點P，使得以A、P、Q為頂點的三角形與相似？若存在，請直接寫出所有符合條件的P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）當時，的面積有最大值4，此時E點坐標為（3）滿足條件的P點坐標為或或或

【解析】

利用待定系數法求拋物線解析式，根據拋物線的對稱軸方程求拋物線的對稱軸；
先確定直線AB的解析式為，再解方程組得，作軸交直線AB于F，如圖1，設，則，則，利用三角形面積公式得到，然后根據二次函數的性質解決問題；
設，則，先利用勾股定理的逆定理判斷為直角三角形，利用相似三角形的判定方法，當，∽，則，所以；當，∽，即，所以，然后分別解關于t的絕對值方程即可得到P點坐標．

把，代入得，解得，

拋物線解析式為；

拋物線的對稱軸為直線；

存在．

把代入得，

直線AB的解析式為，

解方程組得或，則，

作軸交直線AB于F，如圖1，

設，則，

，

，

當時，的面積有最大值4，此時E點坐標為；

設，則，

，，，

，，，

，

為直角三角形，

，

當，∽，

即，

，

解方程得舍去，，此時P點坐標為；

解方程得舍去，，此時P點坐標為；

當，∽，

即，

，

解方程得舍去，，此時P點坐標為；

解方程得舍去，，此時P點坐標為；

綜上所述，滿足條件的P點坐標為或或或