Question

【題目】（模型建立）

（1）如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經過點C，過A作AD⊥ED于點D，過B作BE⊥ED于點E．

求證：△BEC≌△CDA；

（模型應用）

（2）① 已知直線l1：y＝x＋8與坐標軸交于點A、B，將直線l1繞點A逆時針旋轉45至直線l2，如圖2，求直線l2的函數表達式；

② 如圖3，長方形ABCO，O為坐標原點，點B的坐標為（8，－6），點A、C分別在坐標軸上，點P是線段BC上的動點，點D是直線y＝－3x＋6上的動點且在y軸的右側．若△APD是以點D為直角頂點的等腰直角三角形，請直接寫出點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①y=-7x-42；② (2,0）或（5，-9）

【解析】

（1）根據△ABC為等腰直角三角形，AD⊥ED，BE⊥ED，可判定△ACD≌△CBE；

（2）①過點B作BC⊥AB，交l2于C，過C作CD⊥y軸于D，根據△CBD≌△BAO，得出BD=AO=6，CD=OB=8，求得C（-8，14），最后運用待定系數法求直線l2的函數表達式；②根據△APD是以點D為直角頂點的等腰直角三角形，當點D是直線y=-3x+6上的動點且在y軸的右側時，分兩種情況：當點D在矩形AOCB的內部或邊上時，當點D在矩形AOCB的外部時，設D（x，-3x+6），分別根據△ADE≌△DPF，得出AE=DF，據此列出方程進行求解即可．

解：（1）證明：如圖1，∵△ABC為等腰直角三角形，
∴CB=CA，∠ACD+∠BCE=90°，
又∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠D=∠E=90°，∠EBC+∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
在△ACD與△CBE中，

∴△ACD≌△CBE（AAS）；

（2）①如圖2，過點B作BC⊥AB，交l2于C，過C作CD⊥y軸于D，

∵∠BAC=45°，
∴△ABC為等腰直角三角形，
由（1）可知：△CBD≌△BAO，
∴BD=AO，CD=OB，
∵直線l1：y＝x＋8中，若y=0，則x=-6；若x=0，則y=8，
∴A（-6，0），B（0，8），
∴BD=AO=6，CD=OB=8，
∴OD=8+6=14，
∴C（-8，14），
設l2的解析式為y=kx+b，則

解得

∴l2的解析式：y=-7x-42；

②D（2，0），（5，-9）
理由：當點D是直線y=-3x+6上的動點且在y軸右側時時，分兩種情況：
當點D在矩形AOCB的內部或邊上時，如圖，過D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，

設D（x，-3x+6），則OE=3x-6，AE=6-（3x-6）=12-3x，DF=EF-DE=8-x，
由（1）可得，△ADE≌△DPF，則DF=AE，
即：12-3x=8-x，
解得2x=4，x=2，
∴-3x+6=0，
∴D（2，0），即點D為直線y=-3x+6與x軸交點，
此時，PF（PC）=ED（OD）=2，AO=6=CD，符合題意；

準確圖形如下：

當點D在矩形AOCB的外部時，如圖，過D作x軸的平行線EF，交直線OA于E，交直線BC于F，

設D（x，-3x+6），則OE=3x-6，AE=OE-OA=3x-6-6=3x-12，DF=EF-DE=8-x，
同理可得：△ADE≌△DPF，則AE=DF，
即：3x-12=8-x，
解得x=5，
∴-3x+6=-9，
∴D（5，-9），
此時，ED=PF=5，AE=BF=DF=3，BP=PF-BF=5-3=2 ＜6，點P在線段BC上，符合題意．