Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AF是⊙O切線，CD是垂直于AB的弦，垂足為E，過點C作DA的平行線與AF相交于點F，CD=4

3

，BE=2．求證：
（1）四邊形FADC是菱形；
（2）FC是⊙O的切線．

Answer 1

證明：（1）連接OC，
∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，
∴CE=DE=

1

2

CD=

1

2

×4

3

=2

3

，
設OC=x，
∵BE=2，
∴OE=x-2，
在Rt△OCE中，OC²=OE²+CE²，
∴x²=（x-2）²+（2

3

）²，
解得：x=4，
∴OA=OC=4，OE=2，
∴AE=6，
在Rt△AED中，AD=

AE2+DE2

=4

3

，
∴AD=CD，
∵AF是⊙O切線，
∴AF⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴AF∥CD，
∵CF∥AD，
∴四邊形FADC是平行四邊形，
∵AD=CD，
∴?FADC是菱形；

（2）連接OF，AC，
∵四邊形FADC是菱形，
∴FA=FC，
∴∠FAC=∠FCA，
∵AO=CO
∴∠OAC=∠OCA
∴∠FAC+∠OAC=∠FCA+∠OCA
即∠OCF=∠OAF=90°
即OC⊥FC，
∵點C在⊙O上，
∴FC是⊙O的切線．