Question

【題目】一副三角板如圖1擺放,∠C=∠DFE=90,∠B=30,∠E=45,點F在BC上,點A在DF上,且AF平分∠CAB,現將三角板DFE繞點F順時針旋轉(當點D落在射線FB上時停止旋轉).

(1)當∠AFD=_ __時,DF∥AC;當∠AFD=__ _時，DF⊥AB；

(2)在旋轉過程中，DF與AB的交點記為P，如圖2，若AFP有兩個內角相等，求∠APD的度數；

(3)當邊DE與邊AB、BC分別交于點M、N時，如圖3，若∠AFM=2∠BMN，比較∠FMN與∠FNM的大小，并說明理由。

Answer 1

【答案】(1)30；60(2) 60或105或150(3)∠FMN=∠FNM

【解析】分析：（1）當∠AFD=30°時，AC∥DF，依據角平分線的定義可先求得∠CAF=∠FAB=30°，由內錯角相等，兩直線平行，可證明AC∥DF，；當∠AFD=60°時，DF⊥AB，由三角形的內角和定理證明即可；

（2）分為∠FAP=∠AFP，∠AFP=∠APF，∠APF=∠FAP三種情況求解即可；

（3）先依據三角形外角的性質證明∠FNM=30°+∠BMN，接下來再依據三角形外角的性質以及∠AFM和∠BMN的關系可證明∠FMN=30°+∠BMN，從而可得到∠FNM與∠FMN的關系．

詳解：（1）如圖1所示：

當∠AFD=30時，AC∥DF．

理由：∵∠CAB=60°，AF平分∠CAB，∴∠CAF=30°．

∵∠AFD=30°，∴∠CAF=∠AFD，∴AC∥DF．

如圖2所示：當∠AFD=60°時，DF⊥AB．

∵∠CAB=60°，AF平分∠CAB，∴∠AFG=30°．

∵∠AFD=60°，∴∠FGB=90°，∴DF⊥AB．

故答案為：30；60．

（2）∵∠CAB=60°，AF平分∠CAB，∴∠FAP=30°．

當如圖3所示：

當∠FAP=∠AFP=30°時，∠APD=∠FAP+∠AFP=30°+30°=60°；

如圖4所示：

當∠AFP=∠APF時．

∵∠FAP=30°，∠AFP=∠APF，∴∠AFP=∠APF=×（180°﹣30°）=×150°=75°，∴∠APD=∠FAP+∠AFP=30°+75°=105°；

如圖5所示：

如圖5所示：當∠APF=∠FAP=30°時．

∠APD=180°﹣30°=150°．

綜上所述：∠APD的度數為60°或105°或150°．

（3）∠FMN=∠FNM．

理由：如圖6所示：

∵∠FNM是△BMN的一個外角，∴∠FNM=∠B+∠BMN．

∵∠B=30°，∴∠FNM=∠B+∠BMN=30°+∠BMN．

∵∠BMF是△AFM的一個外角，∴∠MBF=∠MAF+∠AFM，即∠BMN+∠FMN=∠MAF+∠AFM．

又∵∠MAF=30°，∠AFM=2∠BMN，∴∠BMN+∠FMN=30°+2∠BMN，∴∠FMN=30°+∠BMN，∴∠FNM=∠FMN．