Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的A、B兩個頂點在x軸上，頂點C在y軸的負半軸上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面積S△ABC=15，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過A、B、C三點．

（1）求此拋物線的函數表達式；
（2）設E是y軸右側拋物線上異于點B的一個動點，過點E作x軸的平行線交拋物線于另一點F，過點F作FG垂直于x軸于點G，再過點E作EH垂直于x軸于點H，得到矩形EFGH．則在點E的運動過程中，當矩形EFGH為正方形時，求出該正方形的邊長；
（3）在拋物線上是否存在異于B、C的點M，使△MBC中BC邊上的高為 ？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵OA：OB=1：5，OB=OC，

設OA=m，則OB=OC=5m，AB=6m，

由S△ABC= AB×OC=15，得 ×6m×5m=15，解得m=1（舍去負值），

∴A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5），

設拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣5），將C點坐標代入，得a=1，

∴拋物線解析式為y=（x+1）（x﹣5），

即y=x2﹣4x﹣5

（2）

解：設E點坐標為（n，n2﹣4n﹣5），拋物線對稱軸為x=2，

由2（n﹣2）=EF，得2（n﹣2）=﹣（n2﹣4n﹣5）或2（n﹣2）=n2﹣4n﹣5，

解得n=1± 或n=3± ，

∵n＞0，

∴n=1+ 或n=3+ ，

邊長EF=2（n﹣2）=2 ﹣2或2 +2

（3）

解：存在．

由（1）可知OB=OC=5，

∴△OBC為等腰直角三角形，即B（5，0），C（0，﹣5），

設直線BC解析式為y=kx+b，將B與C代入得： ，

解得： ，

則直線BC解析式為y=x﹣5，

依題意△MBC中BC邊上的高為 ，

∴直線y=x+9或直線y=x﹣19與BC的距離為7 ，

聯立 ， ，

解得 或 ，

∴M點的坐標為（﹣2，7），（7，16）．

【解析】（1）由已知設OA=m，則OB=OC=5m，AB=6m，由S△ABC= AB×OC=15，可求m的值，確定A、B、C三點坐標，由A、B兩點坐標設拋物線交點式，將C點坐標代入即可；（2）設E點坐標為（m，m2﹣4m﹣5），拋物線對稱軸為x=2，根據2|m﹣2|=EF，列方程求解；（3）存在．因為OB=OC=5，△OBC為等腰直角三角形，直線BC解析式為y=x﹣5，則直線y=x+9或直線y=x﹣19與BC的距離為7 ，將直線解析式與拋物線解析式聯立，求M點的坐標即可．
【考點精析】利用二次函數的圖象和二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．