Question

【題目】在正方形中，是一條對角線，點在直線上(不與點、重合)，連接，平移，使點移動到點，得到，過點作于，連接，．

（問題發現）

（1）如圖①，若點在線段上，與的數量關系是________，位置關系是________．

（拓展探究）

（2）如圖②，若點在線段的延長線上，其他條件不變，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請給出證明，否則說明理由．

（解決問題）

（3）若點在線段的延長線上，且，正方形的邊長為2，請直接寫出求的長度．

Answer 1

【答案】（1），；（2）結論仍然成立，理由見解析；（3）．

【解析】

（1）連接HC，根據正方形的性質、等腰直角三角形的性質得到△HDP≌△HQC，根據全等三角形的性質得到HP＝HC，∠DHP＝∠QHC，根據正方形是軸對稱圖形證明結論；

（2）同（1）的證明方法相同，根據圖形證明即可；

（3）由（1）的結論AH＝PH，AH⊥PH，得出∠HPA＝45°，推導出∠APD＝30°，再由三角函數即可求解．

（1），．

證明如下：如解圖，連接，

∵四邊形是正方形，

∴∠，

又∵，

∴是等腰直角三角形，

∴，，

由平移的性質可知，

在和中，，

∴，

∴，．

根據正方形是軸對稱圖形得到，，

∴，

即，

∴，．

故答案為：，；

（2）（1）中的結論仍然成立，

理由如下：如解圖，連接，

∵四邊形是正方形，

∴，

又∵，

∴是等腰直角三角形，

∴，，

由平移的性質可知，

在和中，，

∴，

∴，．

根據正方形是軸對稱圖形得到，，

∴，

∴，；

（3）．

由（1）知，，，

∴，

∵，

∴，

∴，，

∴，

∴，

∴，

在中，，

∴．