Question

【題目】如圖，已知矩形紙片ABCD，怎樣折疊，能使邊AB被三等分？

以下是小紅的研究過程．

思考過程	要使邊AB被三等分，若從邊DC上考慮，就是要折出DM＝DC， 也就是要折出DM＝AB， 當DB、AM相交于F時，即要折出對角線上的DF＝DB．那么…
折疊方法和示意圖	①折出DB；對折紙片，使D、B重合，得到的折痕與DB相交于點E；繼續折疊紙片，使D、B與E重合，得到的折痕與DB分別相交于點F、G； ②折出AF、CG，分別交邊CD、AB于M、Q； ③過M折紙片，使D落在MC上，得到折痕MN，則邊AB被N、Q三等分．

（1）整理小紅的研究過程，說明AN＝NQ＝QB；

（2）用一種與小紅不同的方法折疊，使邊AB被三等分．（需簡述折疊方法并畫出示意圖）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）由折疊的性質可得DF＝DB，DM＝AN，通過證明DFM∽BAF，可得DM＝AB，可得AN＝AB，同理可求QB＝AB，可得結論；

（2）所求圖形，如圖所示，由折疊的性質可得AF＝BF＝DE＝EC＝CD，AN＝DM＝NQ，通過證明AGF∽CGD，可得，由平行線分線段成比例可得AN＝MC＝DM，即可證AN＝NQ＝QB．

解：（1）由折疊的性質可得，DF＝DB，四邊形ADMN是矩形，

∴DM＝AN，

∵CD∥AB，

∴DFM∽BAF，

∴＝，

∴DM＝AB，

∴AN＝AB，

同理可求QB＝AB，

∴AN＝NQ＝QB；

（2）如圖，

①將矩形ABCD對折，使AD與BC重合，折痕為EF；

②連接AC，DF，交點為G，

③過點G折疊矩形ABCD，使點D落在CE上，對應點為E，

使點A落在BF上，對應點為Q，折痕為MN；

∴點N，點Q為AB的三等分點．

理由如下：由折疊的性質可得：AF＝BF＝DE＝EC＝CD，AN＝DM＝NQ，

∵AB∥CD，

∴AGF∽CGD，

∴，

∵AB∥CD，

∴，

∴AN＝MC＝DM，

∴AN＝DM＝CD＝AB，

∴NQ＝AB，

∴AN＝NQ＝QB．