Question

【題目】在平面直角坐標系中，如果某點的橫坐標與縱坐標的和為10，則稱此點為“合適點”例如，點（1，9），（﹣2019，2029）…都是“合適點”．

（1）求函數y＝2x+1的圖象上的“合適點”的坐標；

（2）求二次函數y＝x2﹣5x﹣2的圖象上的兩個“合適點”A，B之間線段的長；

（3）若二次函數y＝ax2+4x+c的圖象上有且只有一個合適點”，其坐標為（4，6），求二次函數y＝ax2+4x+c的表達式；

（4）我們將拋物線y＝2（x﹣n）2﹣3在x軸下方的圖象記為G1，在x軸及x軸上方圖象記為G2，現將G1沿x軸向上翻折得到G3，圖象G2和圖象G3兩部分組成的記為G，當圖象G上恰有兩個“合適點”時，直接寫出n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（3，7）；（2）8；（3）y＝﹣x2+4x；（4）n＜或10﹣＜n＜10+

【解析】

（1）根據“合適點”的定義，聯立x+y＝10和y＝2x+1即可求解；

（2）根據“合適點”的定義，聯立x+y＝10和y＝x2﹣5x﹣2即可求解；

（3）將點（4，6）代入二次函數表達式得：16a+16+c＝6…①，聯立y＝10﹣x和y＝ax2+4x+c并整理得：2x2+5x+（c﹣10）＝0，△＝25﹣4a（c﹣10）＝0…②，聯立①②即可求解；

（4）當直線m于圖象G3只有一個交點時，直線m與圖象G有3個“合適點”；當直線m經過點A、B時，直線m與圖象G有3個“合適點”，即可求解．

解：（1）聯立

解得：

故“合適點”的坐標為（3，7）；

（2）聯立

解得：或

故點A、B的坐標分別為：（﹣2，12）、（6，4），

則AB＝＝8；

（3）將點（4，6）代入二次函數表達式得：

16a+16+c＝6…①，

聯立y＝10﹣x和y＝ax2+4x+c并整理得：

ax2+5x+（c﹣10）＝0，

由題意可知：△＝25﹣4a（c﹣10）＝0…②，

聯立①②并解得：a＝﹣，c＝0，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+4x；

（4）圖象G，如下圖所示：

∵G1的頂點坐標為（n，-3），G1的函數表達式為：y＝2（x﹣n）2-3，

∴G3的頂點坐標為（n，3），則G3的函數表達式為：y＝﹣2（x﹣n）2+3，

x+y＝10，則y＝10﹣x，

設直線m為：y＝10﹣x，

①當直線m與圖象G3只有一個交點時，由圖可知：直線m與G2有兩個交點

直線m與圖象G有3個交點，即有3個“合適點”，

聯立直線m與G3的表達式得：y＝﹣2（x﹣n）2+3＝10﹣x，整理得：

2x2﹣（4n+1）x+（2n2+7）＝0，

△＝b2﹣4ac＝8n﹣55＝0，解得：n＝，

故當n＜時，圖象G恰好有2個“合適點”；

②當直線m經過點A、B時，

直線m與圖象G有3個交點，即有3個“合適點”，則在這兩個點之間有2個“合適點”，

直線m與x軸的交點為（10，0），

將（10，0）代入y＝2（x﹣n）2﹣3并解得：n＝10，

故10﹣＜n＜10+；

綜上，n的取值范圍為：n＜或10﹣＜n＜10+．