Question

【題目】在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別用a、b、c表示．

（1）如圖，在△ABC中，∠A＝2∠B，且∠A＝60度．求證：a2＝b（b+c）．

（2）如果一個三角形的一個內角等于另一個內角的2倍，我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”．第一問中的三角形是一個特殊的倍角三角形，那么對于任意的倍角三角形ABC，其中∠A＝2∠B，關系式a2＝b（b+c）是否仍然成立？并證明你的結論．

（3）試求出一個倍角三角形的三條邊的長，使這三條邊長恰為三個連續的正整數．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）成立，證明見解析；（3）邊長為4，5，6的三角形

【解析】

（1）由A＝2∠B，∠A＝60°，得∠B＝30°，∠C＝90°，結合含30°角的直角三角形三邊長的比例關系，即可得到答案；

（2）延長BA至點D，使AD=AC=b，連接CD，易證ACD，BCD是等腰三角形，CD=BC=a，AC=AD=b，BD=b+c，易證ACD~CBD，得，進而即可得到結論；

（3）由題意得：若△ABC是倍角三角形，由∠A＝2∠B，則a2＝b（b+c），且a＞b，然后分情況討論：當a＞c＞b時，當c＞a＞b時，當a＞b＞c時，分別求出符合要求的值，即可．

（1）∵∠A＝2∠B，∠A＝60°，

∴∠B＝30°，∠C＝90°，

∴c＝2b，a＝b，

∴a2＝3b2＝b（b+c）；

（2）關系式a2＝b（b+c）仍然成立，理由如下：

延長BA至點D，使AD=AC=b，連接CD，則ACD是等腰三角形，

∴∠ACD=∠D，

∵∠BAC是ACD的一個外角，

∴∠BAC=∠D+∠ACD=2∠D，

∵∠BAC=2∠B，

∴∠B=∠D，

∴CD=BC=a，∠B=∠ACD，

∴BD=AB+AD=b+c，

又∵∠D=∠D，

∴ACD~CBD，

∴，即：，

∴a2＝b（b+c）；

（3）若△ABC是倍角三角形，由∠A＝2∠B，則a2＝b（b+c），且a＞b．

①當a＞c＞b時，設a＝n+1，c＝n，b＝n﹣1，（n為大于1的正整數），

代入a2＝b（b+c），得（n+1）2＝（n﹣1）（2n﹣1），解得：n＝5，

∴a＝6，b＝4，c＝5，

②當c＞a＞b及a＞b＞c時，

均不存在三條邊長恰為三個連續正整數的倍角三角形．

綜上所述：邊長為4，5，6的三角形即為所求倍角三角形．