Question

【題目】學習概念：

三角形一邊的延長線與三角形另一邊的夾角叫做三角形的外角．如圖1中∠ACD是△AOC的外角，那么∠ACD與∠A、∠O之間有什么關系呢？

∵∠ACD＝180°﹣∠ACO，∠A+∠O＝180°﹣∠ACO

∴∠ACD＝∠A+　 　，

結論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的　 　．

問題探究：

(1)如圖2，已知：∠AOB＝∠ACP＝∠BDP＝60°，且AO＝BO，則△AOC　 　△OBD；

(2)如圖3，已知∠ACP＝∠BDP＝45°，且AO＝BO，當∠AOB＝　 　°，△AOC≌△OBD；

應用結論：

(3)如圖4，∠AOB＝90°，OA＝OB，AC⊥OP，BD⊥OP，請說明：AC＝CD+BD．

拓展應用：

(4)如圖5，四邊形ABCD，AB＝BC，BD平分∠ADC，AE∥CD，∠ABC+∠AEB＝180°，EB＝5，求CD的長．

Answer 1

【答案】∠O，和；(1)≌；(2)45°；(3)見解析；(4)CD＝5．

【解析】

學習概念：∠ACD＝∠A+∠O，理由是等量代換，所以得到結論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.問題探究：（1）由鄰補角互補可知∠ACO＝∠ODB＝120°，由外角性質可知∠AOC+∠OAC＝∠ACP＝60°，等量代換得∠OAC＝∠BOD，進而可證三角形△AOC和△OBD全等.（2）當∠AOB＝45°時，△AOC≌△OBD，證法同（1）.（3）先證明△AOC≌△OBD，可得OC＝BD，AC＝OD，進而可證AC＝CD+BD．

（4）在DB上取一點F使CF＝CD，由BD平分∠ADC，AE∥CD，可得∠AED＝∠CFD，再利用等量代換，可得∠BAE＝∠CBF，然后可證△ABE≌△BCF，進而可得CD=BE=5.

解：

學習概念：

∵∠ACD＝180°﹣∠ACO，∠A+∠O＝180°﹣∠ACO

∴∠ACD＝180°﹣(180°﹣∠A﹣∠O)＝∠A+∠O，

即：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，

故答案為：∠O，和.

問題探究：(1)∵∠ACP＝∠BDP＝60°，

∴∠ACO＝∠ODB＝120°，∠AOC+∠OAC＝∠ACP＝60°，

∵∠AOB＝∠AOC+∠BOD＝60°，

∴∠OAC＝∠BOD，

在△AOC和△OBD中，

，

∴△AOC≌△OBD(AAS)，

故答案為：≌.

(2)當∠AOB＝45°時，△AOC≌△OBD，理由如下，

同（1）∵∠ACP＝∠BDP＝45°，

∴∠ACO＝∠ODB＝135°，∠AOC+∠OAC＝∠ACP＝45°，

∵∠AOB＝∠AOC+∠BOD＝45°，

∴∠OAC＝∠BOD，

在△AOC和△OBD中，

，

∴△AOC≌△OBD(AAS)，

故當∠AOB＝45°時，△AOC≌△OBD.

(3)∵AC⊥OP，BD⊥OP，

∴∠ACO＝∠ODB＝90°，

∴∠1+∠3＝90°，

∵∠AOB＝90°，

∴∠2+∠3＝90°，

∴∠1＝∠2，

∴△AOC≌△OBD，

∴OC＝BD，AC＝OD，

∴AC＝OD＝OC+CD＝BD+CD,

(4)如圖5，在DB上取一點F使CF＝CD，

∴∠CFD＝∠CDF，

∵BD平分∠ADC，

∴∠ADB＝∠CDB，

∴∠CFD＝∠CDF＝∠ADB，

∵AE∥CD，

∴∠BDC＝∠AED，

∴∠AED＝∠CFD，

∵∠AEB+∠AFD＝180°，∠AEB+∠ABC＝180°，

∴∠AED＝∠ABC，

∴∠AEB＝∠BFC，

∵∠AED＝∠ABE+∠BAE，∠ABC＝∠ABE+∠CBF，

∴∠BAE＝∠CBF，

∵AB＝BC，

∴△ABE≌△BCF，

∴CF＝BE，

∴CD＝CF＝BE =5．