Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，O為AC的中點，直線EF經過點O，并且與AB交于點E，與DC交于點F，∠DFE=∠BFE．

（1）求證：四邊形DEBF是菱形；

（2）若AD=4，AB=8，則線段EF的長是_______．(直接寫出答案即可)

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）根據矩形的性質可得∠OAE=∠OCF，利用ASA可證明△AOE≌△COF，可得AE=CF，即可證明BE=DF，可證明四邊形DEBF是平行四邊形，根據∠DFE=∠BFE及矩形性質可得∠BFE=∠BEF，即可得出BE=BF，可得四邊形DEBF是菱形；

（2）如圖，連接BD，由矩形的性質可得點O為BD中點，根據菱形的性質可得EF⊥BD，利用勾股定理可求出BD的長，設BE=x，則DE=x，AE=8-x，利用勾股定理可求出x的長，再利用勾股定理即可求出OE的長，進而可得EF的長．

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴DC∥AB，DC=AB．

∴∠OAE=∠OCF．

∵OA=OC，∠AOE=∠COF，

∴△AOE≌△COF，

∴AE=CF，

∴BE=DF，

∴四邊形DEBF是平行四邊形，

∵∠DFE=∠BFE，∠DFE=∠FEB，

∴∠BFE=∠BEF，

∴BE=BF，

∴四邊形DEBF是菱形．

（2）如圖，連接BD，

∵AB=8，AD=4，

∴BD==，

∵點C為矩形ABCD對角線AC的中點，

∴點O為BD中點，即OB=BD=，

∵四邊形DEBF是菱形，

∴EF⊥BD，EF=2OE，

設BE=x，

∵AB=8，

∴DE=BE=x，AE=8-x，

∵AD=4，

∴x2=42+(8-x)2，

解得：x=5，即BE=5，

∴OE==，

∴EF=2OE=．