Question

【題目】（1）已知：如圖1，為等邊三角形，點為邊上的一動點（點不與、重合），以為邊作等邊，連接.求證：①，②；

（2）如圖2，在中，，，點為上的一動點（點不與、重合），以為邊作等腰，（頂點、、按逆時針方向排列），連接，類比題（1），請你猜想：①的度數(shù)；②線段、、之間的關(guān)系，并說明理由；

（3）如圖3，在（2）的條件下，若點在的延長線上運動，以為邊作等腰，（頂點、、按逆時針方向排列），連接.

①則題（2）的結(jié)論還成立嗎？請直接寫出，不需論證；

②連結(jié)，若，，直接寫出的長.

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②∠DCE＝120°；（2）∠DCE＝90°, BD2+CD2＝DE2．證明見解析；（3）①（2）中的結(jié)論還成立，②AE＝.

【解析】

（1）①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，進(jìn)而就可以得出△ABD≌△ACE，即可得出結(jié)論；②由△ABD≌△ACE，以及等邊三角形的性質(zhì)，就可以得出∠DCE＝120°；
（2）先判定△ABD≌△ACE（SAS），得出∠B=∠ACE=45°，BD=CE，在Rt△DCE中，根據(jù)勾股定理得出CE2+CD2=DE2，即可得到BD2+CD2=DE2；
（3）①運用（2）中的方法得出BD2+CD2=DE2；②根據(jù)Rt△BCE中，BE=10，BC=6，求得進(jìn)而得出CD=8-6=2，在Rt△DCE中，求得最后根據(jù)△ADE是等腰直角三角形，即可得出AE的長．

（1）①如圖1，∵△ABC和△ADE是等邊三角形，

∴AB＝AC，AD＝AE，∠ ACB＝∠B＝ 60°，

∠BAC＝∠DAE＝60°，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，

∴∠BAD＝∠EAC．

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD＝CE；

②∵△ABD≌△ACE ,

∠ACE＝∠B＝60°,

∴∠DCE＝∠ACE +∠ACB＝60°+60°＝120°；

（2）∠DCE＝90°, BD2+CD2＝DE2．

證明：如圖2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，

即∠BAD＝∠CAE，

在△ABD與△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，

∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，

∴∠BCE＝90°，

∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2，

∴BD2+CD2＝DE2；

（3）①（2）中的結(jié)論還成立．
理由：如圖3，∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即∠BAD=∠CAE，
在△ABD與△ACE中，

∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABC=∠ACE=45°，BD=CE，
∴∠ABC+∠ACB=∠ACE+∠ACB=90°，
∴∠BCE=90°=∠ECD，
∴Rt△DCE中，CE2+CD2=DE2，
∴BD2+CD2=DE2

②∵Rt△BCE中，BE=10，BC=6，

∴BD=CE=8，
∴CD=8-6=2，
∴Rt△DCE中，

∵△ADE是等腰直角三角形，