Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，H是對角線BD的中點，延長DC至E，使得DE=DB，連接BE，作DF⊥BE交BC于點G，交BE于點F，連接CH、FH，下列結論：（1）HC=HF；（2）DG=2EF；（3）BE·DF=2CD2；（4）S△BDE=4S△DFH；（5）HF∥DE，正確的個數是（ ）

A.5B.4C.3D.2

Answer 1

【答案】B

【解析】

由等腰三角形“三線合一”的性質可得EF=BF，根據H是正方形對角線BD的中點可得CH=DH=BH，即可證明HF是△BDE的中位線，可得HF=DE，HF//DE；由BD=DE即可得HC=HF；利用直角三角形兩銳角互余的關系可得∠CBE=∠CDG，利用ASA可證明△BCE≌△DCG，可得DG=BE，可判定DG=2EF，由正方形的性質可得BD2=2CD2，根據∠CBE=∠CDG，∠E是公共角可證明△BCE∽△DFE，即可得，即BE·DF=DE·BC，可對③進行判定，根據等底等高的三角形面積相等可對④進行判定，綜上即可得答案.

∵BD=DE，DF⊥BE，

∴EF=BF，

∵H是正方形ABCD對角線BD的中點，

∴CH=DH=BH=BD，

∴HF是△BDE的中位線，

∴HF=DE=BD=CH，HF//DE，故①⑤正確，

∵∠CBE+∠E=90°，∠FDE+∠E=90°，

∴∠CBE=∠FDE，

又∵CD=BC，∠DCG=∠BCE=90°，

∴△BCE≌△DCG，

∴DG=BE，

∵BE=2EF，

∴DG=2EF，故②正確，

∵∠CBE=∠FDE，∠E=∠E，

∴△BCE∽△DFE，

∴，即BE·DF=DE·BC，

∵BD2=CD2+BC2=2CD2

∴DE2=2CD2，

∴DE·BC≠2CD2，

∴BE·DF≠2CD2，故③錯誤，

∵DH=BD，

∴S△DFH=S△DFB，

∵BF=BE，

∴S△DFB=S△BDE，

∴S△DFH=S△BDE，即S△BDE=4S△DFH，故④正確，

綜上所述：正確的結論有①②④⑤，共4個，

故選B.