Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，點O在邊AB上，以點O為圓心，OA為半徑的圓經過點C，過點C作直線MN，使∠BCM=2∠A．

（1）判斷直線MN與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若OA=4，∠BCM=60°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：MN是⊙O切線．

理由：連接OC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∠BCM=2∠A，
∴∠BCM=∠BOC，
∵∠B=90°，
∴∠BOC+∠BCO=90°，
∴∠BCM+∠BCO=90°，
∴OC⊥MN，
∴MN是⊙O切線．
（2）解：由（1）可知∠BOC=∠BCM=60°，
∴∠AOC=120°，
在Rt△BCO中，OC=OA=4，∠BCO=30°，
∴BO= OC=2，BC=2
∴S陰=S扇形OAC﹣S△OAC= ．
【解析】（1）MN是⊙O切線 ，理由如下：連接OC，根據等邊對等角得出∠OAC=∠OCA，根據三角形的外角定理得出∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A ，又因∠BCM=2∠A，從而得出∠BCM=∠BOC，根據直角三角形兩銳角互余得出∠BOC+∠BCO=90°，根據等量代換得出∠BCM+∠BCO=90°，從而得出OC⊥MN，MN是⊙O切線 ；
(2）根據鄰補角的定義得出∠AOC=120°，根據含30角的直角三角形邊之間的關系得出OB的長，進而根據勾股定理得出BC的長，然后利用S陰=S扇形OAC﹣S△OAC ，算出答案。