Question

【題目】如圖 ，在平面直角坐標系中，直線AB∥ x軸，線段AB與 y 軸交于點M ，已知點 A的坐標是（－2，3）， BM4，點C 與點 B 關于 x 軸對稱．

（1）在圖中描出點C ，并直接寫出點 B 和點C 的坐標：B ，C ；

（2）聯結 AC 、BC ，AC 與 x 軸交于點 D ，試判斷△ABC 的形狀，并直接寫出點 D的坐標；

（3）在坐標平面內， x 軸的下方，是否存在這樣的點 P ，使得△ACP 是等腰直角三角形？如果存在，直接寫出點P 的坐標；如果不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點C見解析，B（4，3），C（4，－3）； （2）△ABC 是等腰直角三角形，點 D（1，0）； （3）存在點 P，使得△ ACP 是等腰直角三角形，點 P1 （－2，－3）或 P2 （－8，－3）或 P3 （－2，－9）．

【解析】

(1)根據點C與點B關于x軸對稱描出點C即可得坐標；

(2)根據點坐標求出線段AB、BC的長度，依據∠ABC=90即可確定△ABC是等腰直角三角形，然后求出DE=CE=3可得點D的坐標；

(3)分三種情況作出圖形，進而確定點P的坐標即可.

解：（1）如圖，可知點B（4，3），C（4，－3）；

（2）如圖，

∵B(4，3),

∴AB=6，

∵C(4，-3)，BC⊥x軸，

∴BC=6，

∴AB=BC，∠ABC=90，

∴△ABC是等腰直角三角形，

設BC交x軸于點E，則∠DEC=90，OE=4，

∵∠DCE=45，

∴DE=CE=3，

∴OD=OE-DE=4-3=1，

∴D(1，0)；

（3））存在點 P，使得△ACP 是等腰直角三角形，如圖，

①當∠APC是直角時，P1（-2，-3）；

②當∠PAC是直角時，P2(-8，-3)；

③當∠PCA是直角時，P3（-2，-9），

故點 P1 （－2，－3）或 P2 （－8，－3）或 P3 （－2，－9）．