Question

【題目】等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=6，點D為邊BC上一動點．將△ABD沿著AD對折到△AB′D．若△BB′D為直角三角形，則BD=___________

Answer 1

【答案】或

【解析】

首先作AE⊥BC，垂足為E，

解：如圖所示，作AE⊥BC，垂足為E，根據等腰三角形的對稱性，分兩種情況：點D在點E左側和右側. ①當點D在點E左側時，根據等腰三角形的性質，可得AE=3，BE=，∠ABD=30°，∠BAE=60°，又因為將△ABD沿著AD對折到△AB′D，可得AB=A B′，∠ABD=∠AB′D，∠BAD=∠B′AD=15°，又△BB′D為直角三角形，得出B′D∥AE，∠AB′D=∠B′AE=30°，進而得出∠DAE=45°，即DE=AE=3，即可求出BD=；②當點D在點E右側時，同理可得BD=；綜合起來，即得出BD.

根據等腰三角形的對稱性，分兩種情況：點D在點E左側和右側.

① 當點D在點E左側時，

∵等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=6，

∴AE=3，BE=，∠ABD=30°，∠BAE=60°，

又∵將△ABD沿著AD對折到△AB′D，

∴AB=A B′，∠ABD=∠AB′D，∠BAD=∠B′AD=15°，

又△BB′D為直角三角形，即B′D⊥BC，

∴B′D∥AE，

∴∠AB′D=∠B′AE=30°

∴∠DAE=45°，即DE=AE=3，

∴BD=

② 當點D在點E右側時，

同理可得BD=.

綜上所述，BD=或.