Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H，連接AC，過上一點E作EG∥AC交CD的延長線于點G，連接AE交CD于點F，且EG=FG．

（1）求證：EG是⊙O的切線；

（2）延長AB交GE的延長線于點M，若AH=2，，求OM的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接OE，如圖，通過證明∠GEA+∠OEA=90°得到OE⊥GE，然后根據切線的判定定理得到EG是⊙O的切線；

（2）連接OC，如圖，設⊙O的半徑為r，則OC=r，OH=r-2，利用勾股定理得到，解得r=3，然后證明Rt△OEM∽Rt△CHA，再利用相似比計算OM的長．

（1）證明：連接OE，如圖，

∵GE=GF，

∴∠GEF=∠GFE，

而∠GFE=∠AFH，

∴∠GEF=∠AFH，

∵AB⊥CD，

∴∠OAF+∠AFH=90°，

∴∠GEA+∠OAF=90°，

∵OA=OE，

∴∠OEA=∠OAF，

∴∠GEA+∠OEA=90°，即∠GEO=90°，

∴OE⊥GE，

∴EG是⊙O的切線；

（2）解：連接OC，如圖，

設⊙O的半徑為r，則OC=r，OH=r-2，

在Rt△OCH中，，

解得r=3，

在Rt△ACH中，AC= ，

∵AC∥GE，

∴∠M=∠CAH，

∴Rt△OEM∽Rt△CHA，

∴ ，

即，

解得：OM=．