Question

【題目】（新知理解）

如圖1，點在線段上，點將線段分成兩條不相等的線段，，如果較長線段是較短線段的倍，即，則稱點是線段的一個圓周率點，此時，線段，稱為互為圓周率伴侶線段．由此可知，一條線段的圓周率點有兩個，一個在線段中點的左側(如圖中點)，另一個在線段中點的右側．

(1)如圖1，若，則 ；若點是線段的不同于點的圓周率點，則 (填“”或“”)；

(2)如果線段，點是線段的圓周率點，則 ；

（問題探究）

(3)如圖2，現有一個直徑為1個單位長度的圓片，將圓片上的某點與數軸上表示1的點重合，并把圓片沿數軸向右無滑動的滾動一周，該點到達點的位置．若點是線段的兩個不同的圓周率點，求線段的長；

（問題解決）

(4)如圖3，將直徑為1個單位長度的圓片上的某點與數軸上表示2的點重合，并把圓片沿數軸向右無滑動的滾動一周，該點到達點的位置．若點在射線上，且線段與以、中某兩個點為端點的線段互為圓周率伴侶線段，請你直接寫出點所表示的數．

Answer 1

【答案】（1）3π+3，=；（2）5或5 π；（3）MN長為π-1；（4）D點表示的數為：或或或

【解析】

（1）根據圓周率伴侶線段定義得出線段之間的關系，代值求解，根據定義分別得出AC、BD與AB的關系判斷AC與BD的關系；（2）根據圓周率點定義，分兩種情況，得到AM與BM的關系，代值求解；（3）設OM=x，由定義得MC=πx，根據OC=OM+MC列方程求解；（4）根據點D是線段OE的圓周率點和點E是線段OD的圓周率點，得出四種線段之間的關系，代值求解.

解：（1）∵AC=3，BC=π AC，

∴AB=AC+BC=3π+3；

∵點D、C都是是線段的圓周率點且不重合，

∴BC=π AC ，AD=πBD，

∴AB=AC+BC=BD+AD，

∴AB=AC+π AC，AB=BD+πBD，

∴AC= ，BD=，

∴AC=BD.

（2）設線段AB中點為C，當點M在線段AC之間時，如圖1

∵點M是線段的圓周率點，

∴BM=π AM ，

∵,

∴AM+π AM=5+5π

∴AM=5；

當點M在線段BC之間時，如圖2

∵點M是線段的圓周率點，

∴AM=π BM ，

∵，

∴π BM+BM=5+5π，

∴BM=5，

∴AM=5 π.

綜上所述，AM長為5或5 π.

（3）如圖，由題意可知，C點表示的數是π+1，

M、N均為線段OC的圓周率點，設M點離O點近，且OM=x，

∴MC=πOM=πx

∴x+πx=π+1，

解得x=1，

∴OM=1，

∴OM=CN=1

∴MN=OC-OM-CN=π+1-1-1=π-1.

（4）根據題意得點C表示的數為π+2，設點D表示的數為x，

如圖1，若OD=πDE，

∴x=π(π+2-x)，

解得，x=，

∴D點表示的數為：；

如圖2，若DE=πOD，

∴ π+2-x= πx，

解得，x=，

∴D點表示的數為：；

如圖3，若OE=πDE，

∴π+2=π(x-π-2)，

解得，x=，

∴D點表示的數為：；

如圖4，若DE=πOE，

∴x-π-2=π(π+2)，

解得，x=，

∴D點表示的數為：.

綜上所述：D點表示的數為：或或或.