Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點B（1, 0）、C（3, 0）、D（3, 4）．以A為頂點的拋物線y＝ax2＋bx＋c過點C．動點P從點A出發，以每秒個單位的速度沿線段AD向點D運動，運動時間為t秒．過點P作PE⊥x軸交拋物線于點M，交AC于點N．

（1）直接寫出點A的坐標，并求出拋物線的解析式；

（2）當t為何值時，△ACM的面積最大？最大值為多少？

（3）點Q從點C出發，以每秒1個單位的速度沿線段CD向點D運動，當t為何值時，在線段PE上存在點H，使以C、Q、N、H為頂點的四邊形為菱形？

Answer 1

【答案】（1）A（1，4）；y＝－x2＋2x＋3；（2）當t＝２時，△AＭC面積的最大值為1；（3）或．

【解析】（1）由矩形的性質得到點A的坐標，由拋物線的頂點為A，設拋物線的解析式為y＝a（x－1）2＋4，把點C的坐標代入即可求得a的值；

（2）由點P的坐標以及拋物線解析式得到點M的坐標，由A、C的坐標得到直線AC的解析式，進而得到點N的坐標，即可用關于t的式子表示MN，然后根據△ACM的面積是△AMN和△CMN的面積和列出用t表示的△ACM的面積，利用二次函數的性質即可得到當t＝２時，△AＭC面積的最大值為1；

（3）①當點Ｈ在Ｎ點上方時，由PＮ＝CQ，PN∥CQ，得到四邊形PNCQ為平行四邊形，所以當PQ＝CQ時，四邊形FECQ為菱形，據此得到，解得t值；②當點Ｈ在Ｎ點下方時，NH=CQ=，NQ＝CQ時，四邊形NHCQ為菱形，NQ2＝CQ2，得：，解得t值．

解：（1）由矩形的性質可得點A（1，4），

∵拋物線的頂點為A，

設拋物線的解析式為y＝a（x－1）2＋4，

代入點C（3, 0），可得a＝－1．

∴y＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3．

（2）∵P（，４），

將代入拋物線的解析式，y＝－（x－1）2＋4＝，

∴M（， ），

設直線AC的解析式為，

將A（１,４），C（３,０）代入，得：，

將代入得，

∴N（，），

∴MN ，

∴，

∴當t＝２時，△AＭC面積的最大值為1．

（3）①如圖１，當點Ｈ在Ｎ點上方時，

∵Ｎ（，），P（，４），

∴PＮ＝４—（）＝＝CQ，

又∵PN∥CQ，

∴四邊形PNCQ為平行四邊形，

∴當PQ＝CQ時，四邊形FECQ為菱形，

PQ2＝PD2+DQ2 ＝，

∴，

整理，得．解得， （舍去）；

②如圖２當點Ｈ在Ｎ點下方時，

NH=CQ=，NQ＝CQ時，四邊形NHCQ為菱形，

NQ2＝CQ2，得：．

整理，得． ．所以，（舍去）．

“點睛”此題主要考查二次函數的綜合問題，會用頂點式求拋物線，會用兩點法求直線解析式，會設點并表示三角形的面積，熟悉矩形和菱形的性質是解題的關鍵.