Question

如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OA=2，OC=3．
(1)求拋物線的解析式．
(2)若點D(2，2)是拋物線上一點，那么在拋物線的對稱軸上，是否存在一點P，使得△BDP的周長最小，若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．
注：二次函數（≠0）的對稱軸是直線= 

Answer 1

（1）（2）P（，）

解：（1）∵OA=2，OC=3，∴A（－2，0），C（0，3）。
將C（0，3）代入得c=3。
將A（－2，0）代入得，，解得b=。
∴拋物線的解析式為。
（2）如圖：連接AD，與對稱軸相交于P，

由于點A和點B關于對稱軸對稱，則即BP+DP=AP+DP，當A、P、D共線時BP+DP=AP+DP最小。
設AD的解析式為y=kx+b，
將A（-2，0），D（2，2）分別代入解析式得，
，解得，，∴直線AD解析式為y=x+1。
∵二次函數的對稱軸為，
∴當x=時，y=×+1=。∴P（，）。
（1）根據OC=3，可知c=3，于是得到拋物線的解析式為，然后將A（－2，0）代入解析式即可求出b的值，從而得到拋物線的解析式。
（2）由于BD為定值，則△BDP的周長最小，即BP＋DP最小，由于點A和點B關于對稱軸對稱，則即BP+DP=AP+DP，當A、P、D共線時BP+DP=AP+DP最小。