Question

【題目】如圖甲，有兩個形狀完全相同的直角三角形ABC和EFG疊放在一起（點A與點E重合），已知AC8 cm，BC6 cm，∠C90°，EG4 cm，∠EGF90°，O是△EFG斜邊上的中點. 如圖乙，若整個△EFG從圖甲的位置出發，以1 cm/s的速度沿射線AB方向平移，在△EFG平移的同時，點P從△EFG的頂點G出發，以1 cm/s的速度在直角邊GF上向點F運動，當點P到達點F時，點P停止運動，△EFG也隨之停止平移. 設運動時間為x（s），FG的延長線交AC于H，四邊形OAHP的面積為y（cm2）（提示：不考慮點P與G、F重合的情況）.

（1）當x為何值時，OP∥AC?

（2）求y與x之間的函數關系式，并確定自變量x的取值范圍；

（3）是否存在某一時刻，使四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當x為1.5 s時，OP∥AC；（2）+3 (0<x<3)；（3）x1=

【解析】分析：（1）由于O是EF中點，因此當P為FG的中點時，OP∥EG∥AC，據此可求出x的值．
（2）由于四邊形AHPO形狀不規則，可根據S四邊形OAHP=S△AFHS△OFP, 中，AH的長可用AF的長和∠FAH的余弦值求出，同理可求出FH的表達式（也可用相似三角形來得出AH、FH的長）．中，過點O作OD⊥FP，垂足為D.PF的長易知，而OD的長，可根據OF的長和∠FOD的余弦值得出．由此可求得y、x的函數關系式．
（3）先求出四邊形OAHP面積與△ABC，然后將其代入（2）的函數式中即可得出x的值．

詳解：（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC，∴.

∴FG==3 cm.

∵當P為FG的中點時，OP∥EG，EG∥AC，

∴OP∥AC.

∴x=×3=1.5(s).

∴當x為1.5 s時，OP∥AC.

（2）在Rt△EFG中，由勾股定理得EF=5 cm.

∵EG∥AH，∴△EFG∽△AFH.

∴，即.

∴AH=(x+5)，FH=(x+5).

過點O作OD⊥FP，垂足為D.

∵點O為EF中點，∴OD=EG=2 cm.

∵FP=，

∴S四邊形OAHP=S△AFHS△OFP AH·FH OD·FP

=× (x+5) × (x+5) ×2×(3x)

=+3 (0<x<3).

（3）假設存在某一時刻x，使得四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13∶24，

則S四邊形OAHP ×S△ABC.

∴××6×8.

∴6x285x2500.

解得x1=，x2= (舍去).

當x=（s）時，四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13：24．