Question

【題目】圖①是一張∠AOB＝45°的紙片折疊后的圖形，P、Q分別是邊OA、OB上的點，且OP＝2 cm．將∠AOB沿PQ折疊，點O落在紙片所在平面內的C處．

（1）①當PC∥QB時，OQ＝ cm；

②在OB上找一點Q，使PC⊥QB（尺規作圖，保留作圖痕跡）；

（2）當折疊后重疊部分為等腰三角形時，求OQ的長．

Answer 1

【答案】（1）2；見解析（2）當點C在∠AOB的內部或一邊上時，則重疊部分即為△CPQ

【解析】分析：（1）①證明四邊形，即可得OQ=OP=2cm；②分點C、P在BQ同側和異側兩種情況作圖即可；（3）當折疊后重疊部分為等腰三角形時，符合條件的點Q共有5個；點C在∠AOB的內部或一邊上時，由折疊的性質、三角形內角和定理以及解直角三角形即可求出OQ的長；點C在∠AOB的外部時，同理求出OQ的長即可．

詳解：

（1）①當PC∥QB時，∠O=∠CPA，

由折疊的性質得：∠C=∠O，OP=CP，

∴∠CPA=∠C，

∴OP∥QC，

∴四邊形OPCQ是平行四邊形，

∴四邊形OPCQ是菱形，

∴OQ=OP=2cm；

故答案為：2cm；

② 分點C、P在BQ同側和異側兩種情況，畫對一種就給全分；

（2）當點C在∠AOB的內部或一邊上時，則重疊部分即為△CPQ．

因為△CPQ是由△OPQ折疊得到，所以當△OPQ為等腰三角形時，重疊部分必為等腰三角形．

如圖1、2、3三種情況：

當點C在∠AOB的外部時，

當點C在射線OB的上方時（如圖4）， 當點C在射線OA的下方時（如圖5），

OQ＝－ (cm)

OQ＝＋ (cm)