Question

【題目】如圖，已知拋物線經y＝ax2+bx﹣3過A（1，0）、B（3，0）、C三點．

（1）求拋物線解析式；

（2）如圖1，點P是BC上方拋物線上一點，作PQ∥y軸交BC于Q點．請問是否存在點P使得△BPQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出P點坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，連接AC，點D是線段AB上一點，作DE∥BC交AC于E點，連接BE．若△BDE∽△CEB，求D點坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3；（2）存在點P使得△BPQ為等腰三角形，P點坐標為P1（1，0），P2（2，1），；（3）.

【解析】

（1）利用待定系數法求解可得拋物線的表達式；

（2）先求出直線的解析式，分三種情況：當時，設，可表示出三條線段長，則解方程可求出P點坐標；

（3）證得可得比例線段求出AE長，當時可求出D點坐標．

（1）將 代入 得： ，

解得 ，

拋物線解析式；

（2）存在點P使得△BPQ為等腰三角形，

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴設直線BC的解析式為，

∴ ，

解得： ，

∴直線BC的解析式為，

設，則，可分三種情況考慮：

①當時，由題意得P、Q關于x軸對稱，

∴，

解得：（舍去），

∴ ，

②當時， ，

∴ ， （舍去）， ，

∴，

③當時，有 ，

整理得： ，

解得 ．

∴ ．

綜合以上可得P點坐標為P1（1，0），P2（2，1），；

（3）∵△BDE∽△CEB，

∴∠ABE＝∠ACB，

∵∠BAE＝∠CAB，

∴△ABE∽△ACB，

又∵ ，

∴

∴

∴

∵ ，

∴

∴

∴

∴ .