Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直線MN為梯形ABCD的對稱軸，P為MN上一動點，那么PC+PD的最小值為

 

．

Answer 1

分析：因為直線MN為梯形ABCD的對稱軸，所以當A、P、C三點位于一條直線時，PC+PD有最小值．

解答：解：連接AC交直線MN于P點，P點即為所求．
∵直線MN為梯形ABCD的對稱軸，
∴AP=DP，
∴當A、P、C三點位于一條直線時，PC+PD=AC，為最小值，
∵AD=DC=AB，AD∥BC，
∴∠DCB=∠B=60°，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠DAC=∠DCA=∠ACB
∵∠ACB+∠DCA=60°，
∴∠DAC=∠DCA=∠ACB=30°，
∴∠BAC=90°，
∵AB=1，∠B=60°
∴AC=tan60°×AB=

3

×1=

3

．
∴PC+PD的最小值為

3

．

點評：此題主要考查了等腰梯形的性質、軸對稱的性質，對應點的連線與對稱軸的位置關系是互相垂直，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應點之間的距離相等，對應的角、線段都相等．解題關鍵是分析何時PC+PD有最小值．