Question

【題目】如圖，已知AB為⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，CD＝BD，E、F是線段AC、AB的延長線上的點，并且EF與⊙O相切于點D．

（1）求證：∠A＝2∠BDF；

（2）若AC＝3，AB＝5，求CE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析：（2）CE＝1．

【解析】

（1）連接AD，如圖，先證明得到∠1＝∠2，再根據圓周角定理得到∠ADB＝90°，根據切線的性質得到OD⊥EF，然后證明∠1＝∠4得到結論；

（2）連接BC交OD于F，如圖，根據圓周角定理得到∠ACB＝90°，再根據垂徑定理，由得到OD⊥BC，則CF＝BF，所以OF＝AC＝，從而得到DF＝1，然后證明四邊形CEDF為矩形得CE＝1．

（1）證明：連接AD，如圖，

∵CD＝BD，

∴，

∴∠1＝∠2，

∵AB為直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴∠1+∠ABD＝90°，

∵EF為切線，

∴OD⊥EF，

∴∠3+∠4＝90°，

∵OD＝OB，

∴∠3＝∠OBD，

∴∠1＝∠4，

∴∠A＝2∠BDF；

（2）解：連接BC交OD于F，如圖，

∵AB為直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵，

∴OD⊥BC，

∴CF＝BF，

∴OF＝AC＝，

∴DF＝﹣＝1，

∵∠ACB＝90°，OD⊥BC，OD⊥EF，

∴四邊形CEDF為矩形，

∴CE＝DF＝1．