Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A為頂點的拋物線y=ax2+bx+c過點C．動點P從點A出發，沿線段AB向點B運動．同時動點Q從點C出發，沿線段CD向點D運動．點P，Q的運動速度均為每秒1個單位．運動時間為t秒．過點P作PE⊥AB交AC于點E．

（1）直接寫出點A的坐標，并求出拋物線的解析式；

（2）過點E作EF⊥AD于F，交拋物線于點G，當t為何值時，△ACG的面積最大？最大值為多少？

（3）在動點P，Q運動的過程中，當t為何值時，在矩形ABCD內（包括邊界）存在點H，使以C，Q，E，H為頂點的四邊形為菱形？請直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）點A的坐標為（1，4），拋物線的解析式為y=x2+2x+3；

（2）當t=2時，S△ACG的最大值為1；

（3）t的值為20-8或

【解析】試題分析：（1）根據矩形的性質可以寫出點A得到坐標；由頂點A的坐標可設該拋物線的頂點式方程為y=a（x-1）2+4，然后將點C的坐標代入，即可求得系數a的值（利用待定系數法求拋物線的解析式）；（2）利用待定系數法求得直線AC的方程y=-2x+6；由圖形與坐標變換可以求得點P的坐標（1，4-t），據此可以求得點E的縱坐標，將其代入直線AC方程可以求得點E或點G的橫坐標；然后結合拋物線方程、圖形與坐標變換可以求得GE=4-、點A到GE的距離為，C到GE的距離為2-；最后根據三角形的面積公式可以求得S△ACG=S△AEG+S△CEG=-（t-2）2+1，由二次函數的最值可以解得t=2時，S△ACG的最大值為1；（3）因為菱形是鄰邊相等的平行四邊形，所以點H在直線EF上．

試題解析：

(1)A(1，4).

由題意知，可設拋物線解析式為y=a(x1)2+4，

∵拋物線過點C(3，0)，

∴0=a(31)2+4，

解得，a=1，

∴拋物線的解析式為y=(x1)2+4,即y=x2+2x+3.

(2)∵A(1，4)，C(3，0)，

∴可求直線AC的解析式為y=2x+6.

∵點P(1，4t).

∴將y=4t代入y=2x+6中,解得點E的橫坐標為x=1+.

∴點G的橫坐標為1+，代入拋物線的解析式中，可求點G的縱坐標為4.

∴GE=(4)(4t)=t.

又∵點A到GE的距離為,C到GE的距離為2，

即S△ACG=S△AEG+S△CEG=EG+EG(2)

=2(t)= (t2)2+1.

當t=2時，S△ACG的最大值為1.

(3)第一種情況如圖1所示,點H在AC的上方,由四邊形CQEH是菱形知CQ=CE=t,

根據△APE∽△ABC，知

，即，解得t=20；

第二種情況如圖2所示，

點H在AC的下方，由四邊形CQHE是菱形知CQ=QE=EH=HC=t，PE=t,EM=2t，MQ=42t.

則在直角三角形EMQ中,根據勾股定理知EM2+MQ2=EQ2,即(2t)2+(42t)2=t2，

解得,t1=,t2=4(不合題意,舍去).

綜上所述,t=20或t=.