Question

如圖，I為△ABC的內心，△ABC的外接圓O，O在BC上，AD、BE、CF都經過I點分別交⊙O于點D、E、F，EF交AB于點G，交AC于點H，IM⊥BC于M．則下列結論：①EF⊥AD；②AB+AC-BC=

2

AI；
③AD=

2

（IM+

1

2

BC）；④S_△BIC：S_△EFI的值隨A點位置變化而變化．其中正確的是（　　）

• A、①②④
• B、①②
• C、①②③
• D、③④

Answer 1

分析：根據內心的定義得到∠ABE=∠CBE，∠ACF=∠BCF，∠BAD=∠CAD，求出∠EAD+∠AEF=90°即可判斷①；求出三角形內切圓的半徑是

1

2

（AC+AB-BC），根據勾股定理求出AI=

2

IH即可判斷②；求出AD=AI+ID=

2

2

（AC+AB），求出

2

（IM+

1

2

BC）=

2

2

（AC+AB），即可判斷③；根據相似三角形的性質即可判斷④．

解答：解：∵I為△ABC的內心，
∴∠ABE=∠CBE，∠ACF=∠BCF，∠BAD=∠CAD，
∴弧AE+弧AF+弧CD=180°，
∴∠AGF=∠EAD+∠AEF=90°，∴①正確；
∵O在BC上，
∴∠BAC=90°，
∵I是△ABC的內心，
∴CM=BM，CQ=CM，BM=BH，
∴∠IQA=∠CAB=∠IHA=90°，IQ=IH，
∴四邊形QIHA是正方形，
∴IQ=AQ=AI=IH，
∴AC-IH+AB-IH=BC，
∴IH=

1

2

（AC+AB-BC），
由勾股定理得：AI=

2

IH，
∴②正確；
AD=AI+ID=

1

2

（AC+AB-BC）+

2

2

BC，
=

2

2

AC+

2

2

AB，

2

（IM+

1

2

BC）=

2

[

1

2

（AC+AB-BC）+

1

2

BC]=

2

2

AC+

2

2

AB，
∴③正確；
∵∠F=∠EBC，∠FEI=∠ICM，
∴△EFI∽△CBI，
∴

S△BIC

S△EIF

=(

BC

EF

)2，
∵BC一定，
∴④錯誤；
故選C．

點評：本題主要考查對三角形的內切圓與內心，三角形的外角性質，相似三角形的性質，圓周角定理，切線長定理，正方形的性質和判定等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．